Geometrische Konfigurationen. Mit einer Einführung in die Kombinatorische Flächentopologie. (Q1435410)

Aus dem Vorwort: ``Es ist wohl kein Zufall, daß über Konfigurationen zwar eine ausgedehnte Literatur, aber noch kein Lehrbuch existiert: es fehlt eine einheitliche Theorie, die zu einer Gesamtdarstellung des ganzen Gebietes einladen könnte. Ein rein schematisch-kombinatorischer Aufbau kann dem geometrischen Gehalt nicht gerecht werden; wählt man aber etwa die endlichen komplexen Kollineationsgruppen als Ausgangspunkt, so erhält man nur einen kleinen Ausschnitt aus der Gesamtheit der Konfigurationen. Das Fehlen einer einheitlichen Theorie scheint dem Verfasser die natürliche Folge der Vielgestaltigkeit des Gegenstandes zu sein, und in dieser Vielgestaltigkeit liegt ein eigentümlicher Reiz. Überall, wo kombinatorische Methoden in der Geometrie fruchtbar werden, stößt man auf Konfigurationen, und ihr Studium wird so zur Einführung in die kombinatorische Geometrie. Hier zeigt sich besonders schön der innige Zusammenhang der Algebra (speziell der Gruppentheorie) mit der Geometria situs, der Topologie und anderen Teilen der Geometrie. Zwar sind den gelehrten Mathematikern diese engen Beziehungen sehr wohl bekannt, weniger aber den Mathematikstudenten, die, von der Fülle der Spezialgebiete überwältigt, oft verzweifelt nach einem gedanklich einigenden Band ausschauen. Auch manchem früheren Studenten, der nach den ersten Jahren der Berufstätigkeit wieder Anschluß an die mathematische Forschung sucht, wird ein solcher Hinweis auf die enge Verknüpftheit großer Teile der Mathematik von Nutzen sein. An diese beiden Klassen von Lesern hat der Verfasser in erster Linie gedacht, und aus dieser Einstellung ergab sich naturgemäß ein Aufbau, der verhältnismäßig wenige Vorkenntnisse voraussetzt und knappe Auswahl des Stoffes -- wie sie das Inhaltsverzeichnis aufweist. Eine Fortsetzung ist geplant, die manches nachholen soll, was im vorliegenden Bande zurückgestellt werden mußte, um einer lückenlosen Darstellung der Grundlagen der Flächentopologie (Kap. II; Kap. VI, \S~10-11; Anhang zu Kap. II) Platz zu lassen. Wer durch dieses Buch für das Studium von Konfigurationen gewonnen wird, kann sich leicht an Hand der in dem Enzyklopädieartikel von \textit{E. Steinitz} (vgl. S. 103, 295) angegebenen Literatur weiter zurecht finden. Jener Artikel, dem der Verfasser außerordentlich viel verdankt, ermöglichte im Text eine starke Beschränkung der Literaturangaben über projektive Konfigurationen; auch in den gruppentheoretischen und topologischen Abschnitten ist nicht viel zitiert worden; eine gewisse Ergänzung hierzu befindet sich im Anhang.'' Inhaltsverzeichnis: Einleitung: Grundbegriffe und Bezeichnungen. Kap. I: Aus der Gruppentheorie. \S~1. Definitionen. \S~2. Untergruppen. \S~3. Normalteiler und Isomorphismus. \S~4. Permutationsgruppen. \S~5. Gruppe einer Funktion. -Anwendung der Gruppentheorie auf die Bezeichnungsweise. \S~6. Figurgruppen und Konfigurationsgruppen. \S~7. Automorphismen symmetrischer Gruppen. \S~8. Gruppen von der Ordnung \(\infty\). Kap. II: Grundlagen der kombinatorischen Flächentopologie. \S~1. Komplexe. \S~2. Flächen. \S~3. Interne Transformation. \S~4. Normalformen der Flächen. \S~5. Die Topologie der Sphäre und ihre geometrischen Anwendungen. \S~6. Verzerrung von Ketten. Kap. III: Die einfachsten projektiven Konfigurationen. \S~1. Über schematische Konfigurationen \(n_3\). \S~2. Der Fall \(n = 7\). \S~3. Der Fall \(n = 8\). \S~4. Die Fälle \(n = 9\). \S~5. Analytische und topologische Eigenschaften der Konfiguration \((9_3)_{\text{I}}\). \S~6. Die Möbiustetraeder. \S~7. Geradennetze in der projektiven Ebene. Kap. IV: Die polyedralen Konfigurationen. \S~1. Das räumliche Fünfeck und der Satz von Desargues. \S~2. Gruppe und Topologie der Desargues-Konfiguration. \S~3. Die polyedralen Konfigurationen. \S~4. Elementargeometrische Erzeugungen der \(\varPi^3_{(N)}\) und \(P^3_{(N)}\). \S~5. Anwendung der polyedralen Konfigurationen auf die Kinematik. \S~6. Anwendung der polyedralen Konfigurationen auf die Statik. \S~7. Die Zerlegung der projektiven Ebene durch die Desargues-Konfiguration. \S~8. Die Konfiguration der \(F\)-Kugeln. Kap. V: Die Pascalfigur. Vorbemerkung. \S~1. Die schematische \(45_4\), \(60_3\). \S~2. Das Rechenverfahren. \S~3. Pascal-, Kirkman-, Steinerpunkte, Pascal- und Cayley-Salmon-Geraden. \S~4. Die Bauerkegelschnitte. Polare Beziehungen. \S~5. Perspektive Dreieckstripel in der Pascalfigur. Plückergerade und Salmonpunkte. \S~6. Anwendung der Automorphismen der \(\mathfrak S_6\) auf die schematische Darstellung der Pascalfigur. \S~7. Pascalfiguren von \(n\neq 6 \) Punkten. \S~8. Pascalnetze. \S~9. Die Schnittpunkte der Pascalgeraden. \S~10. Algebraische Bedingungen für die benutzten Größensysteme. -- Das Identitätsproblem für die Elemente eines Pascalnetzes. Kap. VI: Regelmäßige Polyeder. \S~1. Regelmäßige \(n\)-Ecke. \S~2. Regelmäßige Polyeder und endliche Drehgruppen. \S~ 3. Aufzählung der regelmäßigen Polyeder. \S~4. Eigenschaften der Polyedergruppen und der regelmäßigen Polyeder. \S~5. Polyedertheorie und binäre Substitutionen. \S~6. Diskontinuitätsbereiche der Drehgruppen. \S~7. Die erweiterten Bewegungsgruppen und ihre Diskontinuitätsbereiche. \S~8. Regelmäßige Polygonnetze im Euklidischen Raume. \S~9. Regelmäßige Polygonnetze in den Nicht-Euklidischen Räumen. \S~10. Anwendung der regelmäßigen Polygonnetze auf die Flächentopologie. \S~11. Die Fundamentalgruppen. Anhang zu Kapitel I-VI. (III 5, V 2.) Besprechung: G. Feigl; Jahresbericht D. M. V. 39 (1930), 14 kursiv.