Aufgabe 59. (Gestellt in Jahresbericht D. M. V. 37, 81 kursiv.) Lösungen von F. Gruber, L. Klug, W. F. Meyer, H. Michnik, T. J. Bromwich. (Q1435492)

Die Aufgabe lautet: Die aus der Elementargeometrie wohlbekannte Figur eines Dreiecks mit seinem Umkreise \(U\) und irgendeinem seiner drei Ankreise \(A\) besitzt eine bemerkenswerte, umkehrbare Eigenschaft, die noch nicht beachtet worden zu sein scheint. Die beiden Kreise \(U\) und \(A\) treffen sich in zwei reellen Punkten und haben zwei reelle Tangenten gemeinsam. Sei \( t\) eine dieser beiden Tangenten und \(B\) ihr Berührungspunkt auf \(U\), so lege man von \(B\) aus die zweite Tangente an \(A\), dann fällt deren Berührungspunkt mit einem der beiden Kreisschnittpunkte \(S\) (und zwar dem, der den größeren Abstand von \(t\) besitzt) zusammen, und vice versa. Umgekehrt mögen ein Ordnungskreis \(U\) und ein Klassenkreis \(A\) mit zwei reellen Schnittpunkten \(S_1, S_2\) und damit auch zwei reellen gemeinsamen Tangenten \(t_1, t_2\) vorliegen, so, daß die obige Eigenschaft für eines der beiden Paare \(({S}, t)\) -- und damit von selbst auch für das andere -- erfüllt ist. Dann existiert auch ein eigentliches Dreieck und mit ihm zugleich \(\infty^1\) solche, so daß \(U\) der Umkreis und \(A\) einer der Ankreise wird. Bedeuten \(\varrho, r\) die Radien von \(U, A\) und \(\varphi\) den (inneren) Schnittwinkel beider Kreise, so gilt die einfache Relation: \(\dfrac \varrho{r} = \left(2 \sin \dfrac \varphi{2}\right)^2\). Dies ist zu beweisen, entweder elementar oder auch analytisch-geometrisch, oder auch (am besten) invarianten-theoretisch.