Las curvas intuitivas. (Q1435496)

``Kurve'' bedeutet: eineindeutiges stetiges Bild eines Intervalls. Endpunkte und innere Punkte der Kurve sind die Bildpunkte der Endpunkte bzw. inneren Punkte des Intervalls. Halbtangente im Punkte \(P\) der Kurve ist jede Halbgerade, die für beliebig kleines \(\delta(>0)\) noch Häufungselement derjenigen Halbgeraden ist, die den Punkt \(P\) mit den in einer \(\delta\)-Umgebung gelegenen Punkten der Kurve verbinden; eine Gerade durch \(P\), deren beide Eichtungen Halbtangenten sind, heißt Tangente. Wenn in jedem Punkt der Kurve genau eine Tangente existiert, sind die Punkte \(P\), deren Umgebung sich eineindeutig durch Orthogonalprojektion auf ein den Punkt \(P\) enthaltendes Intervall der Tangente abbilden läßt, innere Punkte der Kurve, während Endpunkte auf die Tangente als Intervallendpunkte projiziert werden. Auf geometrischem Wege leitet Verf. einige Eigenschaften von Kurven mit eindeutig bestimmter Tangente ab, die im allgemeinen unter Benutzung der Differentialrechnung bewiesen werden: jede Gerade, die die Kurve trifft, aber nicht Tangente ist, wird von der Kurve durchsetzt; zu jeder Sehne gibt es an den durch die Sehnenendpunkte bestimmten Kurvenbogen eine parallele Tangente. An eine Kurve mit einer in jedem Punkt eindeutig bestimmten Tangente kann man von jedem Punkt einer Sekante \(AB\), von dem der Bogen \(AB\) unter einem spitzen Winkel erscheint, eine Tangente an einen inneren Punkt des Bogens legen. Es wird gezeigt, daß eine solche Kurve immer rektifizierbar ist. Als ``curva intuitiva'' wird nun eine einfache Kurve bezeichnet, die den Bedingungen des vorigen Abschnitts genügt und in jedem Punkt eine bestimmte Krümmung besitzt, die nur in endlich vielen Punkten Null oder unendlich wird. Eine curva intuitiva, deren innere Punkte keine Inflexionspunkte sind und keine Tangente parallel zur \(y\)-Achse besitzen, wird von jeder Geraden der Ebene in höchstens zwei Punkten geschnitten; von jedem Punkte können höchstens zwei Tangenten an die Kurve gelegt werden; jede Tangente läßt die Kurve ganz auf einer Seite. Demnach wird jede curva intuitiva von jeder Geraden nur in endlich vielen Punkten geschnitten, von jedem Geraden-Büschel nur in endlich vielen Punkten berührt. Die (stets endliche) Maximalzahl der Schnittpunkte und Berührungspunkte heißt die Ordnung bzw. Klasse der Kurve. Ist \(\nu\) die Anzahl der Punkte, in denen die Tangente der Kurve einer festen Richtung parallel ist, \(x\) die Anzahl der Inflexionspunkte, so sind Ordnung und Klasse der Kurve höchstens gleich \(2(\nu + x) \) oder \(2(\nu+ x + 1)\), je nachdem ob die Kurve offen oder geschlossen ist. (V 6 A.)