Courbes gauches de degré 4 tracées sur le tore. (Q1435574)

Die Untersuchung der auf einem Torus \(T\), d. i. der durch Rotation eines Raumkreises um irgendeine Achse entstehenden Fläche vierter Ordnung, die den Kugelkreis doppelt enthält, wird hier von allgemeinerem Gesichtspunkt aus vorgenommen. Ist \(R\) der Radius des Meridiankreises, \(a\) der Abstand seines Mittelpunktes von der Achse, so lassen sich die rechtwinkligen homogenen Koordinaten \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\) eines erzeugenden Punktes von \(T\) in drei homogenen Parametern \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) darstellen: \[ \begin{gathered} x_1:x_2:x_3:x_4 =\bigl\{a(\nu^2 + \mu^2) + R (\nu^2 - \mu^2)\bigr\} (\nu^2 \lambda^2) : \bigl\{a (\nu^2 + \mu^2) + R (\nu^2 - \mu^2)\bigr\} 2\nu\lambda \\ {}: 2 R\nu\mu (\nu^2 + \lambda^2) : (\nu^2 + \lambda^2) (\nu^2 + \mu^2). \end{gathered} \] Demgemäß ist \(T\) \((1, 1)\)-deutig auf eine Hilfsebene \(H(\lambda, \mu, \nu)\), abbildbar. Den ebenen Schnitten von \(T\) entspricht ein Gebüsch \(G\) von \(C^4\) mit zwei gemeinsamen Doppelpunkten und vier gemeinsamen einfachen Punkten. Daraufhin werden die Schnitte von \(T\) mit Flächen zweiter Ordnung, insbesondere die \(C_4\) als Schnitte mit Kugeln untersucht. Von diesen \(C_4\) treten beide Arten, die elliptischen und die rationalen auf, die im einzelnen diskutiert werden. Die Abbildung von \(T\) auf \(H\) ließe sich vereinfachen, wenn man vermöge einer quadratischen Transformation, deren drei Fundamentalpunkte in den beiden Doppelpunkten und einem der vier einfachen Punkte der \(C_4\) liegen, das \(C_4\)-Gebüsch \(G\) überführt in ein \(C_3\)-Gebüsch \(G'\) mit fünf Grundpunkten. Damit ist man aber zu der bekannten von \textit{Clebsch} 1868 eingehend untersuchten Abbildung der \(F_4\) mit Doppelkegelschnitt zurückgelangt. Die Abbildung ist später für den metrischen Sonderfall der Zykliden verfolgt worden. Die vorliegende umfangreiche Abhandlung hätte sich wesentlich kürzen lassen, wenn Verf. die wohlbekannten Eigenschaften der \(C_4\) auf den Zykliden einfach für den Fall des Torus spezialisiert hätte.