Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven. (Q1435671)

Verf. beweist folgende beiden Sätze: (1) Die Gesamtkrümmung \( \int\limits_0^lk\,ds\) einer geschlossenen, zweimal stetig differenzierbaren Raumkurve ist \(\geqq 2\pi\). Das Gleichheitszeichen steht nur für ebene konvexe Kurven. (2) Man betrachte eine dreimal stetig differenzierbare geschlossene Raumkurve mit \(\mathfrak x_{88}\neq 0\). Besitzt ihr Tangentenbild höchstens einen Doppelpunkt, so muß die Windung das Vorzeichen ändern oder identisch verschwinden. Der Beweis knüpft an die von \textit{Löwner} gemachte Bemerkung an, daß die Tangentenbilder geschlossener Raumkurven jeden Großkreis der Kugel treffen. Satz 1 fließt dann aus allgemeinen Untersuchungen über die kleinste konvexe Hülle zusammenhängender Punktmengen. Satz 2 wird dahin gewendet, daß eine geschlossene sphärische Kurve positiver geodätischer Krümmung mit höchstens einem Doppelpunkt ganz auf einer Halbkugel liegt. Diese Eigenschaft wird zunächst für einfache Bögen mit bis in die Endpunkte stetiger geodätischer Krümmung bewiesen und läßt sich durch Approximation auf geschlossene Kurven übertragen, die höchstens einen Doppelpunkt haben. Satz 2 kann also nicht verschärft werden. Zum Schluß gibt Verf. eine Kurve an, deren sphärisches Bild zwei Doppelpunkte hat, und deren Windung \(\geqq 0\) ist. (V 6 D.)