Über dreifach-orthogenale Flächensysteme. (Q1435718)

\textit{E. Keraval} hat folgenden Satz bewiesen (1913; F. d. M. 44, 694): Lassen sich die beiden (als nicht zusammenfallend vorausgesetzten) Scharen von Asymptotenlinien der Flächen einer einparametrigen Familie als Orthogonaltrajektorien zweier Flächenscharen auffassen, so gehört die Flächenfamilie einem dreifachen Orthogonalsystem an. Verf. gibt für diesen Satz einen einfachen vektoriellen Beweis, der von den Asymptotenlinien nur die Eigenschaft benützt, daß die Krümmungslinien ihre Winkelhalbierenden sind, und der also eine Erweiterung des Satzes liefert. Verf. zeigt weiter, daß die Eigenschaft der Asymptotenlinien, flächennormal zu sein, auf eine Differentialgleichung für den Winkel \(\omega\) führt, den diese Linien mit den Linien der einen Krümmungslinienschar einschließen. Auch dieses Ergebnis wird in verschiedener Weise verallgemeinert. Z. B. gibt Verf. folgendes Charakteristikum für dreifache Orthogonalsysteme: man habe eine einparametrige Flächenfamilie und suche die Kurven auf, deren Winkel mit den Krümmungslinien einer der beiden Scharen der oben erwähnten Differentialgleichung genügt. Dann und nur dann ist dieses Kurvensystem flächennormal, wenn die Flächenfamilie einem dreifachen Orthogonalsystem angehört.