Über die \(n\)-dimensionalen Geometrien konstanter Krümmung, in denen die Geraden die kürzesten sind. (Q1435748)

Zunächst wird bewiesen, daß eine \(n\)-dimensionale Geometrie, in der (1) die Geraden die kürzesten Linien sind, (2) der Krümmungsskalar eine negative Konstante bzw. Null ist und (3) das starke Monodromieaxiom erfüllt ist, eine \textit{Hilbert}sche bzw. \textit{Minkowski}sche Geometrie ist, und daß das System der Bedingungen im Falle der \textit{Hilbert}schen Geometrie auch notwendig ist. Es gibt aber einerseits \textit{Minkowski}sche Geometrien, die der Bedingung (3) nicht genügen, andererseits nicht-\textit{Minkowski}sche Geometrien, die zwar (1) und (2), aber nicht (3) genügen. Sodann werden alle \(n\)-dimensionalen Geometrien mit geradlinigen Extremalen und dem Krümmungsskalar Null angegeben sowie alle, deren Krümmungsskalar eine negative Konstante ist, und deren Extremalen gerade Linien sind. Statt des Krümmungsskalars in (2) kann auch die in einer früheren Arbeit (M. Z. 25 (1926), 40-73; F. d. M. 52) definierte Verallgemeinerung des \textit{Riemann}schen Krümmungsmaßes treten. Schließlich wird bewiesen, daß es keine Geometrien mit geradlinigen Extremalen gibt, deren Krümmungsskalar (oder Krümmungsmaß) eine nicht konstante Ortsfunktion ist.