Sur l'hypersurface dont la forme de Darboux est un cube parfait. (Q1435784)

Wie die bewegungsinvariante Differentialgeometrie der Flächen des gewöhnlichen Euklidischen Raumes durch die beiden quadratischen Fundamentalformen bestimmt ist, so die affine und projektive im wesentlichen durch eine quadratische (Asymptotenform) und eine kubische (Form von \textit{Darboux}). Ist die \textit{Darboux}sche Form ein vollständiger Kubus, so fallen ihre Nullinien (\textit{Darboux}sche Kurven) in jedem Punkt der Fläche zusammen, und mit ihnen die drei {Darboux}schen Tangenten. Die Fläche ist dann (bei regulärer Asymptotenform) windschief, ihre \textit{Darboux}schen Tangenten sind mit den Erzeugenden identisch. Verschwindet \textit{Darboux}s Form identisch, so handelt es sich um eine Fläche zweiter Ordnung. Verf. betrachtet (\(n\)-dimensionale) Hyperflächen im projektiven \((n+1)\)-dimensionalen Raum und auf ihnen die quadratische Fundamentalform \(H_{\sigma\tau}dw^\sigma dw^\tau\) und die kubische \(K_{\sigma\tau\varrho}dw^\sigma dw^\tau dw^\varrho\). Schließt man Hypertorsen aus \((|H_{\sigma\tau}|\neq 0\)), so gelten die Sätze: Eine Hyperfläche, deren \textit{Darboux}sche Form identisch verschwindet (\(K_{\sigma\tau\varrho}\equiv 0\)), ist eine Hyperfläche zweiter Ordnung und umgekehrt. Ferner: eine Hyperfläche, deren \textit{Darboux}sche Form ein vollständiger Kubus ist, ist Einhüllende von \(\infty^1\) Hyperflächen zweiter Ordnung, welche der Bedingung genügen, daß jede die Einhüllende nach einem Kegel berührt. Von diesem Satz wird auch die Umkehrung bewiesen, nachdem zuvor noch die \textit{Darboux}schen Kurven des vorliegenden Sonderfalles näher untersucht worden sind.