Zur Konform- und Laguerre-Geometrie. (Q1435810)

Einfacher geometrischer Beweis des folgenden Satzes von \textit{Takasu} (Tôhoku Math. Journ. 25 (1925), 127-210; F. d. M. 51): \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) seien die Koordinaten, \(R\) der Radius der dualen Schmiegkugel einer Kurve \(\mathfrak C\) im dreidimensionalen Raum \(R_3\). Deutet man nach \textit{Lie} \(\xi(s)\), \(\eta(s)\), \(\zeta(s)\) und \(iR(s)\) (\(s=\) Bogenlänge von \(\mathfrak C\)) als Koordinaten im \(R_4\), so erhält man eine Kurve im \(R_4\) mit dem Bogenelement \[ dp^2=d\xi^2+d\eta^2+d\zeta^2-dR^2=\frac{\varrho^2}{\tau^2}\,dR^2 \] (\(\varrho\) Krümmungsradius, \(\tau\) Torsionsradius von \(\mathfrak C\)). Durch Angabe der Funktionen \[ \begin{gathered} \left(\frac{d^3\xi}{dp^3}\right)^2+ \left(\frac{d^3\eta}{dp^3}\right)^2+ \left(\frac{d^3\zeta}{dp^3}\right)^2+ \left(\frac{d^3(iR)}{dp^3}\right)^2,\\ \left(\frac{d^4\xi}{dp^4}\right)^2+ \left(\frac{d^4\eta}{dp^4}\right)^2+ \left(\frac{d^4\zeta}{dp^4}\right)^2+ \left(\frac{d^4(iR)}{dp^4}\right)^2 \end{gathered} \] ist die Kurve \(\mathfrak C\) im \(R_3\) bis auf eigentliche und uneigentliche \textit{Laguerre}transformationen eindeutig bestimmt. Verf. führt den Beweis, indem er auf geometrischem Wege nachweist, daß \[ \left(\frac{d^2\xi}{dp^2}\right)^2+ \left(\frac{d^2\eta}{dp^2}\right)^2+ \left(\frac{d^2\zeta}{dp^2}\right)+ \left(\frac{d^2(iR)}{dp^2}\right)^2 \] immer verschwindet, wodurch mit den anderen Bedingungen zusammen die Kurve im \(R_4\) bis auf Bewegungen und Spiegelungen bestimmt ist. Die Arbeit schließt mit der Bemerkung, daß ein anderer Satz von \textit{Takasu} (Monatshefte f. Math. 37 (1930), 13-40; F. d. M. 56) über dreifache Orthogonalsysteme in einfacher Weise aus einem Satz von \textit{Liouville} hergeleitet werden kann.