Action sur un obstacle d'un fluide visqueux; démonstration simple de formules de Faxén. (Q1436082)

Es sei eine langsame stationäre Bewegung einer zähen, den ganzen Raum erfüllenden Flüssigkeit gegeben, die den linearisierten \textit{Stokes}schen Gleichungen gehorcht. Unter Anwendung eines einfachen Reziprozitätssatzes gibt Verf. allgemeine Formeln für die Resultierende \((F_1, F_2, F_3)\) und das Moment \((L_1, L_2, L_3)\) der Kräfte, welche die Flüssigkeit auf einen starren Körper ausüben würde, falls man ihn in die Flüssigkeit eintaucht und dort festhält; dabei wird die bei den \textit{Stokes}schen Gleichungen übliche Näherungsbetrachtung benutzt. Die Formel für \(F_1\) lautet z. B. (Zähigkeitskoeffizient \( = 1\)): \[ F_1 = \iint\limits_S U_j\left[n_k\left(\dfrac{\partial v_k}{\partial x_j} + \dfrac{\partial v_j}{\partial x_k}\right) - \bar{p}n_j\right] dS \;\text{ (über gleiche Indizes zu summieren!)}. \] Hierbei ist: \(S\) die Oberfläche des Körpers, \(U_j\) die Geschwindigkeit der \textit{ungestörten} Bewegung, \(n_j\) die äußere Einheitsnormale, \(v_j\), \(\bar{p}\) die Lösung der \textit{Stokes}schen Gleichungen mit Randbedingungen \(v_1 = 1, v_2 = v_3 = 0\) (auf \(S\)) und gewissen Bedingungen im Unendlichen. Für \(L_1\) erhält man dieselbe Formel mit dem einzigen Unterschied, daß hier \(v_1 = 0, v_2 = -x_3, v_3 = x_2\) (auf \(S\)) zu nehmen ist. Im Falle der Kugel ergeben sich in einfacher Weise die Formeln von \textit{Faxén} (s. etwa \textit{Oseen}, Hydrodynamik (1927), S. 111; F. d. M. 53, 773 (JFM 53.0773.*)-774).