Quelques résultats touchant la stabilité ou la régularité du mouvement d'un liquide visqueux. (Q1436084)

Es handelt sich um ebene Bewegungen zäher Flüssigkeiten bei fehlenden Volumkräften. Nimmt man an, daß in einem Zeitintervalle der Wirbel \(\zeta\) gleichmäßig gegen \(0\) strebt, wenn \(R = \sqrt{x^2 + y^2}\rightarrow\infty\), und daß \(\dfrac{\partial\zeta}{\partial x}\), \(\dfrac{\partial\zeta}{\partial y}\), \(\Delta\zeta\), \(u, v\) (Geschwindigkeitskomponenten) stetig sind und dem Betrage nach eine Funktion \(K(R)\) nicht überschreiten, so ergibt sich die Formel (\(\varrho = \) Dichte, \(\mu = \) Zähigkeitskoeffizient): \[ \dfrac{\varrho}{\mu}\dfrac{dI}{dt} = -\iint\limits_E \varphi''(\zeta )\left[\left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial y}\right)^2\right] dxdy; \] dabei bezeichnet \(I\) das über die ganze Ebene \(E\) erstreckte Integral \(\iint\varphi (\zeta )dxdy\), wo \(\varphi (\zeta )\) eine beliebige Funktion von \(\zeta\) ist, die nur die Bedingung erfüllen muß, genügend rasch mit \(\zeta\) gegen \(0\) zu streben. Man erhält so den Satz: ist \(\varphi''(\zeta ) > 0\), so ist \(\dfrac{dI}{dt}\leqq 0\), woraus fast unmittelbar einige allgemeine Eigenschaften der Bewegung folgen. Es ergibt sich insbesondere, daß der Höchstwert von \(|\zeta |\) in der \(xy\)-Ebene nicht mit der Zeit wachsen kann; dies liefert eine Ergänzung zum fundamentalen Satze von \textit{Oseen} über die Entstehung von Singularitäten (\textit{Oseen}, Hydrodynamik (1927), 81-82; F. d. M. 53,773-774). Analoge Formeln und Ergebnisse gelten auch für begrenzte Flüssigkeiten.