Arithmetisierung der symbolischen Logik. (Theorie der Aussagen und der Funktionen eines Arguments.) (Q1437038)

Da jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, kann man ihr einen Zahlenwert zuordnen: die Eins, wenn sie wahr ist, im anderen Fall die Null; diesen Zahlenwert bezeichnet der Autor mit demselben Buchstaben wie die entsprechende Aussage. Die Ziffern 0 und 1 kann man gleichfalls als Symbole zweier wohldefinierten Aussagen betrachten, von denen eine wahr und die andere falsch ist. Seien \(p, q\) zwei Aussagen; dann ist \(p + q\) eine Aussage, die wahr ist, wenn die eine Aussage falsch und die andere wahr ist; \(pq\) ist eine Aussage, die wahr ist, wenn beide gegebenen Aussagen wahr sind; \(p=q\) bezeichnet die Äquivalenz beider Aussagen. Unter diesen Voraussetzungen gelangt man zu der Tabelle: \[ (A)\quad\left. \begin{matrix} 0+p=p,\;0&p=0,\;1p=p \\ p+p=&0,\;pp=p \end{matrix} \right\}. \] Addition und Multiplikation der Zahlenwerte der Aussagen sind dem kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetz unterworfen. Die üblichen Regeln der Logik drücken sich wie folgt aus: \[ (B)\quad\left. \begin{matrix} \overline{p}&=1+p\;(p \equiv q)=1+p+q \\ (p \nu q)&=p+q+pq,\;(p \to q)=1+p+q \end{matrix} \right\}. \] Auf diese Arithmetik der Aussagen (der eine frühere Arbeit des Verfassers gewidmet ist; F. d. M. 53, 43 (JFM 53.0043.*)) folgt die Algebra der Aussagen. Verf. versteht unter Formel jede Funktion \(\Phi(p,q,\dots)\), deren Argumente Aussagen sind; speziell nennt er logische Formel jede Formel, deren Wahrheit oder Falschheit nur von der Wahrheit oder Falschheit ihrer Argumente abhängt (und nicht von ihrem materiellen Inhalt). Man kann die logische Formel \(\Phi(p)\) eines Argumentes durch die Gleichung \[ \{(p \equiv q)\to [\Phi(p) \equiv \Phi(q)] \}=1 \] definieren. Mittels (B) gewinnt man daraus die bemerkenswerte Beziehung \[ (C)\quad \Phi(p)=p \Phi(1) +(p+1)\Phi(0), \] die das Prinzip der Elimination einer Aussage liefert. Daraus folgt z. B: Jede Formel beliebig vieler Argumente kann als lineare Funktion in bezug auf jedes dieser Argumente geschrieben werden. In der Theorie der Funktionen begegnet man einer weiteren Operation, dem Übergang von der Funktion \(\Phi(x,y,z)\) zu ihrer Zusammenfassung \((x) \Phi(x,y,z)\), d. h. \(\Phi(x,y,z)\) für alle \(x\). Man bezeichne mit \((x!)\Phi(x,y,z)\) die Aussage: ``Es gibt ein \(x\), für das \(\Phi\) wahr ist''; dann ergibt sich \[ (x!)\Phi=1+(x)(1+\Phi). \] Verf. stellt für die Funktionen dasselbe Eliminationsprinzip auf, das er für die Formeln bewiesen hat, und beweist, daß\ die systematische Anwendung dieses Prinzips immer eine bestimmte Antwort auf die Frage nach der Wahrheit oder Falschheit eines beliebigen logischen Ausdrucks liefert, der vermöge von Funktionen eines Argumentes gebildet ist.