Das Verhältnis von Mathematik und Ideenlehre bei Plato. (Q1437711)

\textit{Plato} hat in vorgerücktem Alter die Lehre von den Ideenzahlen entwickelt. Seine Vorlesung hierüber hat \textit{Aristoteles} noch mit angehört, aber später die ganze Theorie scharf bekämpft. Schon im Altertum erhielten die Ideenzahlen einen mystischen Anstrich; die Kommentatoren wußten nicht viel zu ihrer Erklärung beizubringen. Noch viel schwerer ist es jetzt, aus der fragmentarischen Überlieferung festzustellen, was \textit{Plato} unter den Ideenzahlen, deren Grundprinzip \(\raise0.75em\hbox{,}\!\!\!\alpha \acute o\pi\iota\sigma\tau o\varsigma\) \(\delta\upsilon \acute\alpha\varsigma\) er dem \(\raise0.75em\hbox{,}\!\!\acute\varepsilon\nu\), der Einheit der ganzen Zahlen, gegenüberstellte, sich gedacht habe. Die antike Arithmetik kannte nur die ganzen Zahlen; Brüche wurden mit dem \(\lambda\acute o\gamma o\varsigma\)-Begriff (Verhältnis zweier ganzen Zahlen \(a:b\)) in die Theorie der ganzen Zahlen hineingezwungen. Die Geometrie zeigte nun, daß es Verhältnisse gäbe (z. B. Quadratseite zur Diagonale), die auch mit diesen \(\lambda\acute o\gamma o\iota\) nicht erfaßt werden konnten. \textit{Eudoxos} (\textit{Euklid}, Buch V) gelingt es, den \(\lambda\acute o\gamma o\varsigma\)-Begriff so zu erweitern, daß er auch die irrationalen Zahlen umschließt: seine Definition solcher Verhältnisse, ihrer Unterschiedlichkeit und ihrer Gleichheit ist eine der höchsten Leistungen griechischer Mathematik; sie ist dem \textit{Dedekind}schen Schnitte vergleichbar. Auf diese \(\lambda\acute o\gamma o\iota\) bezieht \textit{Toeplitz Plato}s Lehre von den Ideenzahlen. Zum \(\lambda\acute o\gamma o\varsigma\) sind zwei Paare erforderlich (\(\grave o\upsilon\acute\alpha\varsigma\)), unbestimmt (\(\,\raise0.75em\hbox{,}\!\!\!\alpha\acute o\rho\iota\sigma\tau o \varsigma\)) viele solcher (die ungekürzten Brüche) entsprechen demselben Zahlwert. Sonach hat \textit{Plato} den Begriff der reellen Zahl vielleicht erkannt, die Arithmetisierung der Geometrie begründet. Die Autorität des \textit{Aristoteles} hat diese axiomatische Entwicklung abgedrosselt, ähnlich wie die antike heliozentrische Astronomie, die antike Physik durch \textit{Aristoteles} zurückgedrängt wurden: erst die Neuzeit knüpft an \textit{Platon} wieder an.