Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. (Q1437920)

Vorliegende Arbeit schließt sich an zwei frühere des Verf. an, mit deren Gedankengängen sie sich zum Teil berührt (1922; F. d. M. 48, 1117 (JFM 48.1117.*)-1119. 1923; F. d. M. 49, 683 (JFM 49.0683.*)-684). Die Arbeit gliedert sich in zwei Hauptteile, von denen der erste als Vorbereitung auf den zweiten dienen soll. Gegenstand der Untersuchung sind ``Sätze'' und ``Satzsysteme''. -- Im ersten Teil wird unter ``Satz'' ein Gebilde von folgendem Typ verstanden: \(a_1 a_2 a_3 \to b\). Die drei Elemente \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) bilden das ``Antezedens'' des Satzes, \(b\) heißt das ``Sukzedenzelement''. \(\to\) stellt zwischen Antezedens und Sukzedens eine Beziehung dar. Will man den Satz interpretieren, so kann man etwa unter \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) Ereignisse verstehen, deren Eintreten das Eintreten von \(b\) bedingt. Im übrigen ist eine derartige Interpretation nicht notwendig, da es sich um rein formale Untersuchungen handelt. Zu den Sätzen gehören gewisse Verknüpfungsregeln, die angeben, wie man aus gewissen, als Prämissen zu bezeichnenden Sätzen einen anderen findet, der die Konklusion heißt. Abgeschlossene Satzsysteme heißen solche Systeme von Sätzen, die zu den vorkommenden Prämissen auch die Konklusionen enthalten. Die Begriffe Beweis, Axiom, unabhängiges Axiomensystem haben die übliche Bedeutung. Das Hauptproblem des ersten Teils ist die Frage, wann es zu einem abgeschlossenen Satzsystem \textit{mehrere} unabhängige Axiomensysteme gibt. Auf S. 484 wird dafür eine notwendige Bedingung angegeben. -- Von anderer Art sind die ``Sätze'', die im zweiten Teil untersucht werden. Sie enthalten Variable und drücken sämtlich einen Zusammenhang aus, demgemäß das Bestehen von gewissen Relationen in irgendwelchen variablen Bereichen das Bestehen gewisser anderer Relationen nach sich zieht. Ein Satz von dieser Form ist z. B. \(\varrho(x_1x_2) \varrho(x_2 x_3) \to \varrho(x_1x_3)\), der die Transitivität der Relation \(\varrho\) ausdrückt. ``Schlüsse'' ``abgeschlossenes Satzsystem'' werden analog wie im ersten Teil definiert. Auch hier wird nach der Bedingung gesucht, an der man das Vorhandensein \textit{mehrerer} unabhängiger Axiomensysteme erkennen kann. Es gelingt jedoch auch hier nur, ein \textit{notwendiges} Kriterium zu finden, und auch dies nur für besondere Klassen von abgeschlossenen Satzsystemen. Es sei bemerkt, daß sich die \textit{Hertz}schen Untersuchungen von den Überlegungen, die in der Logistik und neueren Axiomatik angestellt zu werden pflegen, insofern unterscheiden, als nur ein Teil der dort benutzten logischen Schlüsse und logischen Grundbegriffe hier vorkommt. Z. B. wird die Negation grundsätzlich vermieden. Man kann also auch nicht daran denken, wie es zuerst den Anschein haben könnte, unter Benutzung von schon dort vorhandenen Ergebnissen der mathematischen Logik auf schnellerem Wege zu den \textit{Hertz}schen Ergebnissen zu gelangen. Inhaltlich gehören die Untersuchungen natürlich in die Logistik. Die Beweismethoden sind ähnlich denen, die in der \textit{Hilbert}schen Axiomatik gebraucht werden.