L'arithmétisation de la logique symbolique. (Q1437921)

Die Arbeit setzt zwei früher an gleicher Stelle erschienene Arbeiten des Verf. fort (F. d. M. 53, 43 (JFM 53.0043.*); 54, 58; vgl. dort die Symbolik!). Es ist ein Grundbereich von Objekten und ein Grundbereich von Funktionen eines Arguments vorgelegt; aus diesen ``quantités logiques'' werden neue erhalten durch Anwendung der Operationen: Produktbildung (logisches ``und''), Summenbildung (logisches \textit{ausschließendes} ``oder'', im Gegensatz zu der sonst üblichen Bezeichnungsweise), Bildung von ``für alle \dots''-Aussagen und Bildung von ``es gibt \dots''-Aussagen. In der vorliegenden Arbeit wendet Verf. die beiden letztgenannten Operationen nun auch auf Funktionen an. Er stellt die Frage nach der Wahrheit bzw. Falschheit solcher Ausdrücke, die durch endlichmalige Anwendung der genannten Operationen auf endlichviele Objekte und Funktionen entstehen, und die keine ``eigentliche'' (freie) Variable, Objekt oder Funktion, mehr enthalten. Zur Entscheidung dieser Frage führt er neue Symbole ein: Ist \(\varphi\) eine Funktion, \(n\) eine nicht negative ganze Zahl, so bedeutet \( \binom {\varphi}{n}\) die Aussage: ``\(\varphi\) ist für \textit{genau} \(n\) Argumente wahr'', \( \left\{ \begin{matrix} \varphi \\ n \end{matrix}\right\}\) die Aussage: ``\(\varphi\) ist für \textit{mindestens} \(n\) Argumente wahr''. Für diese Aussagen werden einfache Rechenregeln abgeleitet. Ferner wird definiert: \(\varepsilon_n = \binom 1n\), wo 1 die Funktion bedeutet, die für jedes Argument wahr ist. \(\varepsilon_n\) ist dann die Aussage: ``Der Fundamentalbereich der Objekte enthält genau \(n\) Objekte''. Diese Aussagen werden ``Aussagen der Klassenmächtigkeit'' genannt. Dann erhält Verf. als Hauptergebnis, ``daß die Wahrheit oder Falschheit eines Ausdrucks von der Klassenmächtigkeit abhängt und nur von dieser, weshalb jedes Axiomensystem, welches nichts über die Klassenmächtigkeit aussagt, unvollständig ist''.