Knoten und Verkettungen. (Q1438182)

Ein Verfahren zur Untersuchung der Knotengruppen, das Verf. in engerer Fassung schon in früheren Arbeiten angewendet hat (Abhandlungen Hamburg 5 (1926), 2-23; 6 (1928), 56-64; F.~d.~M. 52; 54, 603), wird hier weiter ausgebaut. Man konstruiere einen von dem Knoten \(\mathfrak C\) berandeten Halbzylinder \(Z\), der, wie üblich, nur höchstens zweifache Erzeugende haben soll. Schneidet man den Raum längs \(Z\) auf, so entsteht eine Zelle \(Z\), die von zwei Exemplaren \(Z_l\) und \(Z_r\) von \(Z\) mit der gemeinsamen Grenze \(\mathfrak C\) berandet wird. \(Z_l\) und \(Z_r\) werden durch die Doppelerzeugenden in Flächenstücke \(Z_{l\varrho}\) und \(Z_{r\varrho}\) (\(\varrho=1,2,\ldots,n\); \(n\) Anzahl der Doppelerzeugenden) zerlegt. Man nehme nun endlich oder abzählbar viele Exemplare \(Z^{(\sigma)}\) von \(Z\) und hefte je ein \(Z^{(\sigma)}_{l\varrho}\) mit einem \(Z^{(\tau)}_{r\varrho}\) (wobei auch \(\sigma=\tau\) sein darf) in der Weise zusammen, daß über jedem eine Doppelerzeugende von \(Z\) einmal umschlingenden geschlossenen Weg des Knotenaußenraums in dem entstehenden Überlagerungsraum \(\mathfrak U\) nur geschlossene Wege liegen. Die Zusammenheftung der \(Z^{(\sigma)}\) läßt sich durch eine zur Knotengruppe homomorphe Permutationsgruppe \(\mathfrak P\) beschreiben, deren Elemente die Permutationen \(\pi_\varrho\) sind, die die Zellen \(Z^{(\sigma)}\) bei Durchschreiten eines \(Z_\varrho\) in einer bestimmten Richtung erleiden. Die Fundamentalgruppe \(\mathfrak F\) des Überlagerungsraums \(\mathfrak U\) ist dann eine Untergruppe der Knotengruppe. (Die in den früheren Arbeiten des Verf. behandelten Fälle entsprechen einer zyklischen \(\mathfrak P\).) Verf. betrachtet speziell Knoten, deren Gruppe sich durch zwei Elemente \(K\), \(K^*\), die einem einmaligen Durchschreiten von \(Z\) entsprechen, mit einer Relation \[ K^*=LKL^{-1}\qquad(L=L(K,K^*)) \] erzeugen läßt. Er zeigt, daß in diesem Fall die Knotengruppe einer Diedergruppe (im Ausartungsfall der zyklischen Gruppe der Ordnung 2) homomorph ist. Nimmt man eine solche Diedergruppe als \(\mathfrak P\), so lassen sich Erzeugende und definierende Relationen von \(\mathfrak F\) berechnen. Ist \(\mathfrak P\) die Gruppe eines Dieders mit \(2k+1\) Ecken, so liegen in \(\mathfrak U\) über \(\mathfrak C\) \(k+1\) Kurven \(\mathfrak C^{(\varkappa)}\). Nimmt man die \(\mathfrak C^{(\varkappa)}\) zu \(\mathfrak U\) hinzu, so wird die Fundamentalgruppe die Identität; wenn sich demnach alle \(\mathfrak C^{(\varkappa)}\) und alle Erzeugende von \(\mathfrak F\) in eine Zelle hineindeformieren lassen, so folgt daraus, daß \(\mathfrak F\) die Gruppe einer Verkettung (der Kurven \(\mathfrak C^{(\varkappa)}\)) ist. Die Invarianten dieser Verkettung sind dann Knoteninvarianten. Einer eingehenden Untersuchung in der angegebenen Richtung sind die alternierenden zusammenhängenden 2-Geflechte zugänglich, die aus gewissen offenen Zöpfen mit vier Fäden durch bestimmte Vorschriften über die Zusammenheftung der Fäden entstehen. In diesem Fall sind alle \(\mathfrak C^{(\varkappa)}\) unverknotet. Eine Darstellung der Gruppe \(\mathfrak F\) durch Erzeugende und Relationen kann explicite ausgerechnet werden.