Remarques concernant les types de dimensions. (Q1438191)

Sind \(dE\) und \(dH\) zwei \textit{Fréchet}sche Dimensionstypen, so heißt \(dE\) ein Vorgänger von \(dH\), \(dH\) ein Nachfolger von \(dE\), falls es kein \(Q\) gibt, so daß \[ dE<dQ<dH. \] Verf. hebt einige merkwürdige Eigenschaften der Anordnung der Dimensionstypen hervor: Es kann mehrere unmittelbare Vorgänger bzw. Nachfolger eines Dimensionstypus geben; zwei verschiedene Vorgänger bzw. Nachfolger desselben Dimensionstypus sind nicht miteinander vergleichbar. Es braucht keineswegs immer einen unmittelbaren Vorgänger bzw. Nachfolger zu einem Dimensionstyp zu geben (Beweis der zweiten Behauptung auf Grund der Kontinuumhypothese). Der ``größte Dimensionstyp \(dH\) unterhalb \(dE\)'' wird durch die Bedingungen \[ dH<dE \] und \[ \text{aus \(dQ<dE\) folgt \(dQ\leqq dH\)} \] definiert; analog der kleinste Dimensionstyp oberhalb \(dE\). Der Vorgänger von \(dE\) braucht nicht der größte Dimensionstyp unterhalb \(dE\) zu sein; entsprechend für Nachfolger und kleinsten Dimensionstyp oberhalb \(dE\). Wenn \(dH\) der größte Dimensiontsyp unterhalb \(dE\) ist, folgt daraus nicht, daß \(dE\) der kleinste Dimensionstyp oberhalb \(dH\) ist. In diesem Zusammenhang weist Verf. auch auf einige noch unerledigte Fragen der Theorie der Dimensionstypen hin, u.~a. auf die folgende: Kann man ohne Benutzung der Kontinuumhypothese zeigen, daß von zwei linearen Mengen diejenige von größerer Mächtigkeit zugleich auch von größerem Dimensionstyp ist?