Über endlich-hoch zusammenhängende stetige Kurven. (Q1438195)

Verf. beweist den folgenden Satz: Ein Kontinuum \(C\) ist dann und nur dann eine endlich-hoch zusammenhängende (d.~h. nur endlich viele einfach geschlossene Linien enthaltende) stetige Kurve, wenn man zu jedem \(\varepsilon>0\) eine stetige Deformation von \(C\) in sich finden kann, die keinen Punkt von \(C\) um mehr als \(\varepsilon\) von seiner ursprünglichen Lage entfernt, und deren Endresultat ein eindimensionaler Komplex ist. Die Notwendigkeit dieser Bedingungen ergibt sich aus früheren Untersuchungen des Verf. (Math. Ann. 96 (1926), 512-554; F.~d.~M. 52). Daß die Bedingungen auch hinreichend sind, folgt aus zwei Hilfssätzen, von denen der eine aus der \(\varepsilon\)-Deformation einer abgeschlossenen Menge in sich in eine im Kleinen zusammenhängende Menge auf den Zusammenhang im Kleinen der ursprünglichen Menge schließen läßt, der zweite die bei einer Deformation einer einfach geschlossenen Kurve im \(R^3\) überstrichene Punktmenge als ein mindestens zweidimensionales Kontinuum charakterisiert.