Einführung in die analytische Geometrie. 3. Aufl. (Q1438259)

Da die beiden ersten Auflagen des nun in unveränderter dritter Auflage vorliegenden bekannten Werkes in den F.~d.~M. nur mit dem Titel angezeigt worden sind (1.~Aufl. 1910, 2.~Aufl. 1923; F.~d.~M. 41, 640; 49, 438), soll hier eine kurze Besprechung nachgetragen werden. Das scheint dem Referenten um so berechtigter, als das Werk, trotzdem nun bald ein Vierteljahrhundert seit dem ersten Erscheinen vergangen ist, noch nichts von seinem Wert eingebüßt hat, auch dem gegenwärtigen Geschmack durchaus entspricht -- es sei denn, daß man in einigen Teilen eine straffere Gliederung nach dem gruppentheoretischen Gesichtspunkt, an andern Stellen eine stärkere Heranziehung der Matrizenrechnung wünschen könnte - und noch immer unter die besten Lehrbücher zur Einführung in die analytische Behandlung der Geometrie, insbesondere der projektiven Geometrie, zu rechnen ist. Die Darstellung, die eine gewisse Übung in der Handhabung der allereinfachsten Begriffe und Tatsachen aus der analytischen Geometrie, wie sie auf der Schule jetzt durchweg vermittelt wird, voraussetzt und die Grundtatsachen aus der Determinantentheorie als bekannt annimmt, beginnt in Kap.~I (``Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel'') mit den Elementen der Vektorrechnung (Addition, inneres Produkt). In Kap.~II (``Punktkoordinaten'') werden zunächst inhomogene cartesische Koordinaten im Raum, sodann die Überführung eines rechtwinkligen Koordinatensystems in ein andres, ferner Zylinder- und Polarkoordinaten besprochen; am Schluß des Kapitels werden zur Vorbereitung auf die im folgenden mehr und mehr in den Vordergrund tretende projektive Geometrie die uneigentlichen Elemente des Raums und homogene cartesische Punktkoordinaten eingeführt. In Kap.~III (``Geometrie auf der Geraden'') wird, nach Erklärung der projektiven Punktkoordinaten auf der Geraden, die projektive Geometrie im Punktbüschel vorgetragen. In Kap.~IV (``Die Punkte und Geraden in der Ebene'') wird in der Hauptsache die projektive Geometrie in der Ebene entwickelt; daneben enthält dieses Kapitel vereinzelt auch Gegenstände nicht projektiven Charakters: Die Kreispunkte in der Ebene und die Deutung des euklidischen Winkels zweier Geraden mit Hilfe eines Doppelverhältnisses nach dem \textit{Laguerre}schen Satz. Das folgende Kap. (V:~``Kurven in der Ebene'') ist nicht projektiven Charakters; es bringt eine Reihe von elementaren affinen oder äquiformen Eigenschaften der Kegelschnitte sowie einiger höherer algebraischer und transzendenter Kurven. In Kap.~VI (``Kurven zweiter Ordnung und Kurven zweiter Klasse vom projektiven Standpunkt'') werden zunächst die algebraischen Hilfsmittel (projektive Invarianten einer quadratischen Form) bereitgestellt; es folgt die projektive Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse und die Behandlung der fundamentalen projektiven Eigenschaften derselben. In Kap.~VII folgt die ``Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung nach der Affinität und nach der Kongruenz''. Kap.~VIII ist der Geometrie der Kreise gewidmet: Kreisbüschel, Transformation durch reziproke Radien, stereographische Projektion. Kap.~IX (``Punkte, Ebenen und Geraden des Raumes'') enthält zunächst Affines und Äquiformes, dann im Anschluß an die Einführung der projektiven Punkt- und Ebenenkoordinaten die Elemente der projektiven Geometrie im Raum. Bemerkenswert ist der den Abschluß dieses Kapitels bildende Abriß der Liniengeometrie im Raum. Im Schlußkapitel (X:~``Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse'') wird kurz die projektive und affine Klassifikation dieser Flächen hergeleitet. (V~5~B, D.)