Normalform einer nichtaffinen Projektivität zwischen zwei Ebenen. (Q1438260)

Eine nichtaffine Projektivität zwischen zwei Ebenen kann man immer auf die Normalform \[ \text{\(\mathfrak x_1=x_3\), \(\mathfrak x_2=x_2\), \(\mathfrak x_3=x_1\) bzw. (inhomogen): \(\mathfrak x=\dfrac1x\), \(\mathfrak y=\dfrac yx\)} \] bringen. Bei einer beliebigen Abbildung zweier Ebenen \(E\) und \(\mathfrak E\) vermöge \[ \mathfrak x=\mathfrak x(x,y),\;\mathfrak y=\mathfrak y(x,y) \] werden diejenigen Richtungen \(dx:dy\) von Interesse, für welche die Streckung \[ \varrho=\left(\frac{d\mathfrak x^2+d\mathfrak y^2}{dx^2+dy^2}\right)^{\frac12} \] des Elementes \(x\), \(y\), \(dx\), \(dy\) reine Ortsfunktion bleibt. Richtungen dieser Art heißen Hauptrichtungen, Elemente dieser Art Hauptelemente, ihr Ort Hauptlinien. Die Hauptlinien bilden ein Orthogonalnetz. Punkte mit unbestimmten Hauptlinien heißen Nabelpunkte. Handelt es sich wieder um eine Projektivität, insbesondere aber um keine Affinität, so gibt es in \(E\) ein System konfokaler Kegelschnitte, dessen Abbild in \(\mathfrak E\) ein ebensolches System ist. Jedes dieser Systeme stellt in seiner Ebene die Hauptlinien der Abbildung dar (Theorem von \textit{Dini-Smith}). Mit der Darstellung der projektiven Abbildung in Hauptkoordinaten wird die Untersuchung beschlossen.