Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie. (Q1438273)

Verf. stellt in der vorliegenden Abhandlung den \textit{Schubert}schen Abzählungskalkül (1879; F.~d.~M. 11, 460-462) mit den Hilfsmitteln der kombinatorischen Topologie auf eine exakte Grundlage. Zunächst wird die Theorie der Schnitte orientierter Komplexe im Anschluß an \textit{Lefschetz} entwickelt. Verf. beweist hier einen neuen Satz, der sich auf die Unabhängigkeit des approximativen Schnittkomplexes von der Approximation bezieht; ferner ergibt sich die Theorie des \textit{Brouwer}schen Abbildungsgrades als Spezialfall der allgegemeinen Schnittpunktbetrachtungen. Der fundamentale Begriff ist hier der Begriff des Schnittpunktsindex, der später als Mulitiplizitätsbegriff bei den algebraisch-geometrischen Betrachtungen dient. Verf. geht dann zu allgemeineren, analytischen Komplexen über. Ein analytischer Komplex von \(r\) komplexen Dimensionen ist ein orientierbarer, differenzierbarer Komplex von \(2r\) Dimensionen. Als Hauptresultat der Abhandlung wird der Satz bewiesen, daß die Schnittpunktsindices analytischer, also insbesondere auch algebraischer Mannigfaltigkeiten im komplexen Gebiet stets positiv sind. Die Summe der Indices genügt ferner dem ``Prinzip der Erhaltung der Anzahl'' bei stetiger Änderung der schneidenden Mannigfaltigkeiten, und die Indices ``einfacher'' Schnittpunkte haben den Wert 1. Für algebraische Mannigfaltigkeiten im komplexen projektiven Raum ergibt sich die Übereinstimmung dieses topologischen Indexbegriffs mit dem in früheren Arbeiten des Verf. (1927, 1928; F.~d.~M. 53, 103; 54, 141) mit Hilfe idealtheoretischer Methoden exakt präzisierten algebraischen Multiplizitätsbegriff. Verf. beweist ferner, daß die Indexsumme oder Schnittpunktzahl nur von den Homologieklassen der schneidenden Mannigfaltigkeiten abhängt. Damit ist die Möglichkeit gegeben, die Probleme der abzählenden Geometrie mit den Hilfsmitteln der kombinatorischen Topologie zu untersuchen. Jede Homologierelation zwischen algebraischen Mannigfaltigkeiten liefert eine symbolische Gleichung im \textit{Schubert}schen Sinne. Man darf diese Gleichungen addieren, subtrahieren, mit rationalen Zahlen multiplizieren, man darf diese Gleichungen aber auch mit dem Symbol einer Bedingung multiplizieren, wobei diese Multiplikation in der topologischen Bedeutung von Schnittbildung zu verstehen ist. Aus der Existenz einer endlichen Basis für die Homologien in einer geschlossenen Mannigfaltigkeit folgt die Lösung des \textit{Schubert}schen Charakteristikenproblems. Als Anwendung auf den komplexen projektiven Raum wird der ``verallgemeinerte \textit{Bézout}sche Satz'' bewiesen. (V~2.)