On the mapping of the quadruples of the involutorial \(G_4\) in a plane upon a Steiner surface. (Q1438313)

Die durch die Gleichung \[ u_0\,(x_1^4+x_2^4+x_3^4) + u_1x_2^2x_3^2 + u_2x_3^2x_1^2 +u_3x_1^2x_2^2 =0 \] vermittelte Abbildung ordnet den durch die Vierergruppe verbundenen Punkten des Quadrupels \(x_1:\pm x_2:\pm x_3\) der Ebene die Punkte \(y\) einer \textit{Steiner}schen Fläche im Raume der Ebenen \(u\) zu. So werden einerseits bekannte Eigenschaften der \textit{Steiner}schen Fläche abgeleitet, andererseits Sätze aus der Geometrie der Punktquadrupel gewonnen. Insbesondere wird eine Konfiguration von Punktquadrupeln untersucht, die der Figur eines vollständigen Vierecks mit seinem Diagonaldreieck analog ist, und die sich ergibt, wenn man die vier Schnittpunkte einer Geraden mit der \textit{Steiner}schen Fläche und die Berührungspunkte der von dieser Geraden aus an die Fläche laufenden Tangentialebenen abbildet. Ferner ergibt sich als Bild einer Geraden \(l\) der Ebene (und der vier übrigen Geraden des durch \(l\) von der Vierergruppe bestimmten Vierseits) eine Raumkurve vierter Ordnung, welche jede der drei Doppelgeraden der \textit{Steiner}schen Fläche in einem Punkte \(B_i\) schneidet. Die Verbindungsebenen der Punkte \(B_i\) umhüllen eine Fläche dritter Klasse. Umgekehrt wird die Schnittkurve einer Ebene mit der \textit{Steiner}schen Fläche auf eine ebene Kurve vierter Ordnung abgebildet, deren Wendepunkt- und Doppeltangentenkonfiguration gewisse Symmetrieeigenschaften zeigen. Übertragung der ebenen quadratischen Involution \(x_i'=1\,:\,x_i\) auf die \textit{Steiner}sche Fläche. Bestimmung der Kurven vierter Ordnung von \textit{Clebsch} und \textit{Lüroth}, die eine Kollineationsgruppe vom Oktaedertypus zulassen. (V 5 A, C.)