Surfaces réglées algébriques; singularités; classification. (Q1438320)

Die Untersuchung algebraischer Regelflächen geht hier von folgendem Ansätze aus: Liegt ein Punkt \(M\) auf einer gegebenen Erzeugenden einer Regelfläche \(m\)-ten Grades \(s_m\), so schneidet die Tangentialebene von \(M\) die Fläche in einer ebenen Kurve \(c_{m-1}\) von der Ordnung \(m-1\). Die Kurve \(c_{(m-1)}\) trifft die Erzeugende \(g\) außer in \(M\) noch in den Schnittpunkten \(P_1,P_2,\ldots, P_h\). Sind \(p_1,p_2,\ldots, p_h\) die Multiplizitäten dieser Punkte für \(c_{(m-1)}\), so gilt: \(p_1+p_2+\cdots + p_h=m-2\). Durchläuft die Gerade \(g\) die Regelschar der Fläche, so beschreiben die Punkte \(P_1,P_2,\ldots, P_h\) ebensoviele Ortskurven, die mehrfache Kurven der Fläche sind. Im Grunde läuft die Klassifikation der algebraischen Regelflächen nach Grad und Geschlecht auf die Untersuchung dieser mehrfachen Kurven hinaus. Die Ortskurven der Punkte \(P_1,P_2,\ldots, P_h\) sind die verschiedenen Zweige einer einzigen nicht zerfallenden Kurve, oder sie bilden mehrere voneinander verschiedene analytische Kurven (auch können sie Geraden enthalten). Durch jeden Punkt \(P_i\) einer Ortskurve geht je eine feste Anzahl \(g_i\) von Regelstrahlen der Fläche. Jeder solcher Regelstrahl gehört je einer Flächenschale von \(s_m\) an. Die Schale besitzt für sich allein betrachtet keine Singularität in \(P_i\), und ihre Tangentialebene in \(P_i\) wird durch den Satz bedingt, daß das Büschel der Tangentialebenen eines Regelstrahls zur Reihe der Berührungspunkte projektiv ist. Entweder bedingen die \(g_i\) Regelstrahlen in \(P_i\) lauter verschiedene Tangentialebenen, oder mehrere derselben fallen zusammen. Die Ortskurve von \(P_i\) ist dementsprechend entweder eine mehrfache Kurve oder eine Selbstberührungskurve der Regelfläche. Endlich können zwei oder mehrere Flächenschalen einander längs einer Erzeugenden schneiden oder berühren. Die Entwicklung der hierzu dualen Beziehungen ergibt sich von selbst, da Ordnung und Klasse algebraischer Regelflächen übereinstimmen. Auf Grund dieser Prinzipien führt der Verf. die Klassifikation der algebraischen Regelflächen vierten und fünften Grades durch und gibt einige Ansätze zur Klassifikation von Regelflächen höheren Grades. Seine Klassifikation von Regelflächen vierten Grades zeigt weitgehende Übereinstimmung mit der Einteilung dieser Flächen nach \textit{R. Sturm} (Liniengeometrie I, 1892; F. d. M. 24, 609 (JFM 24.0609.*)-611).