Ancora sopra un paradosso topologico. (Q1438356)

Die Gesamtheit der ungeordneten Paare von komplexen Punkten einer Ebene läßt sich, wie \textit{B. Segre} bemerkt hat (Revista mat. hisp.-amer. 13 (1928), 137-146; F. d. M. 54, 717-718), umkehrbar eindeutig und stetig auf eine Hyperfläche dritter Ordnung \(V_4^3\) des 5-dimensionalen Raumes abbilden. Diese \(V_4^3\) wird erzeugt durch die Gesamtheit der Sekanten einer (zweidimensionalen) \textit{Veronese}schen Fläche \(F_2\). Es ergab sich zugleich die paradox erscheinende Tatsache, daß die \(V_4^3\) durch die \(F_2\) in zwei Teile zerlegt wird, deren gemeinsame Grenze sie ist. Der Aufklärung dieses Tatbestandes dienen die beiden Noten der Verf. Es wird gezeigt, daß die Punkte der \(F_2\) konische Doppelpunkte der \(V_4^3\) sind, so daß kein Widerspruch zu dem Satz besteht, daß eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit im topologischen Sinn nicht durch eine Mannigfaltigkeit von niedrigerer als \((n-1)\)-ter Dimension zerlegt werden kann. (Für diesen Satz wird ebenfalls ein Beweis angegeben.) Ferner wird gezeigt: Ein analytisches Gebilde, das sich umkehrbar eindeutig und analytisch auf die Gesamtheit der ungeordneten Paare von komplexen Punkten einer Ebene abbilden läßt, besitzt notwendig als mehrfache Fläche das Bild der Paare zusammenfallender Punkte. Das entsprechende gilt für die birationalen Bilder der Gesamtheit der ungeordneten Punktepaare einer singularitätenfreien algebraischen Fläche. (V2.)