Über eine Aufgabe der konformen Abbildung. (Q1438374)

Die (reelle) Minimalschraubenfläche soll auf die Halbebene derart konform abgebildet werden, daß die Flächenachse in die Begrenzungsgerade der Halbebene übergeht und die uneigentlichen Punkte der Fläche in uneigentliche Punkte der Halbebene abgebildet werden. Dazu geht Verf. von der Flächendarstellung \[ \xi =\frac {h}{2\pi } \varphi,\;\;\eta = r \cos \varphi,\;\zeta =r\sin \varphi \quad \Bigl(h \text{ Ganghöhe; } k=\frac {h}{2\pi }\Bigr) \] aus, setzt (eineindeutig) \[ r = r (x, y), \;\;\varphi = \varphi (x, y) \] und verlangt Richtungsunabhängigkeit des Quotienten \(\dfrac {d\sigma }{ds}\) der im binären Urbildgebiet \((r,\varphi )\) bzw. Bildgebiet \((x, y)\) vorliegenden Bogenelemente. Es kommt im wesentlichen auf die Bestimmung der Funktion \(r (x, y)\) aus der (komplex geschriebenen) Differentialgleichung \[ \frac {\partial ^2r}{\partial z\partial \bar z}(r^2+k^2)-r \frac {\partial r}{\partial z} \frac {\partial r}{\partial \bar z}=0 \] an. Verf. erhält die reelle Lösung der gestellten Aufgabe in der Form: \[ \begin{aligned} &r=k\sin h[if(x+iy) -if(x-iy)],\\ i&\varphi = f(x+iy) +f(x-iy), \end{aligned} \] unter \(f (z)\) eine analytische Funktion mit reellen Koeffizienten verstanden. Daraus ergeben sich noch einige Schlußfolgerungen, insbesondere die Unmöglichkeit einer konformen Abbildung der Schraubenfläche auf die Halbebene bei konstantem Verhältnis der Längen und Flächen.