Sur les couples de congruences stratifiables et sur la déformation des surfaces. (Q1438391)

Die beiden Verf. bereichern zunächst die Terminologie der Theorie stratifiabler Kongruenzen durch die Unterscheidung einseitiger und zweiseitiger stratifiabler Kongruenzen. Liegt eine einparametrige Flächenschar \((S')\) vor, deren zugeordnete Punkte jeweils auf einem Strahl \(\alpha '\) eines Strahlsystems (\(\alpha '\)) liegen, und gehen die Tangentialebenen in diesen Punkten insgesamt durch ein- und denselben Strahl \(\alpha ''\) einer zweiten Kongruenz (\(\alpha ''\)), so wird das Paar (\(\alpha '\)) (\(\alpha ''\)) ``unilateral stratifiabel'', d.h. etwa ``von einseitiger Streuung'', genannt, dagegen ``bilateral stratifiabel'', also etwa ``zweiseitig stratifiabel'', ``von zweiseitiger Streuung'', wenn überdies noch eine zweite einparametrige Flächenschar \((S'')\) existiert, deren zugehörige Punkte auf \(\alpha ''\) der Kongruenz (\(\alpha ''\)) verteilt sind, und deren zugehörige Tangentialebenen durch einen und denselben Strahl \(\alpha '\) der Kongruenz (\(\alpha '\)) gehen. Die vorliegende Untersuchung, welche an vorhergehende von \textit{Fubini, Bianchi, Rossinski, Finikoff} und \textit{Terracini} (vgl. Fubini, Annali di Mat. (6) 1 (1924), 241-257; F. d. M. 50, 473 (JFM 50.0473.*)-474; \textit{Bianchi}, Rendiconti Accad. d. L. Roma (5) \(33_2\) (1924); 369-377, 521-532; \textit{Rossinski, } Recueil math. Moscou 36 (1929), 7-32; vorstehendes Referat; \textit{Finikoff}, Rendiconti Palermo 53 (1929), 313-364; folgendes Referat; \textit{Terracini}, Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 4 (1926), 348-352; F. d. M. 52) anschließt, zerfällt in zwei Kapitel. Beide behandeln die Konsequenzen eines Deformationsprozesses, durchgeführt an einer beliebigen Fläche \(S'_0\) der Schar \(S''\), für die mit \(S'\) einseitig (Kapitel II) bzw. zweiseitig (Kapitel I) streuend verknüpfte Kongruenz. Im Falle zweiseitiger Streuung werden die Flächenscharen \((S')\) und \((S'')\) durch ein \textit{Riccati}sche Differentialsystem dargestellt (\S \,1) und die Bedingungen aufgewiesen, unter welchen eine Kongruenz (\(\alpha ''\)) existiert, die mit (\(\alpha '\)) eines der in Rede stehenden Paare bildet, wenn beide Kongruenzen auf ein, mit einer gewissen Fläche \(S_0'\) der ersten Schar verknüpftes, Dreibein bezogen werden (\S \,2). Dann erheischen die Bedingungen zweiseitiger Streuung eine Zuordnung der Asymptotenlinien auf den Flächen der Schar \((S')\) (\S \,3). Sollen jetzt die Strahlen der ersten Kongruenz (\(\alpha '\)) mit einer beliebigen Deformation einer Fläche \(S'\) invariant verknüpft bleiben, so ergeben sich zwei wesentlich verschiedene Problemlösungen (\S \,4-7). Für die erste dieser beiden Lösungen reduziert sich die Kongruenz (\(\alpha '\)) auf die Normalenkongruenz einer willkürlichen Fläche \(S_0'\) von konstanter Totalkrümmung; es gibt dann \(\infty ^2\) Kongruenzen (\(\alpha ''\)), welche sich unabhängig von der Deformation von \(S'_0\) mit (\(\alpha '\)) paaren lassen. Die ``Lösungskongruenz (\(\alpha '\))'' wurde bereits von \textit{Bianchi} untersucht. Für die andere Lösung erscheint (in etwas komplizierterer Weise) für \(S_0'\) eine auf eine gewisse Drehfläche abwickelbare Fläche; ihre Meridiankurve läßt sich im allgemeinen durch elliptische Funktionen darstellen, welche in einigen Spezialfällen auf bekannte Flächen zurückführen. Die Kongruenzen (\(\alpha ''\)), welche die Paare mit (\(\alpha '\)) bilden, hängen im allgemeinen von der Deformation der Fläche und überdies von zwei willkürlichen Parametern ab. Doch gibt es unter den \(\infty ^2\) Kongruenzen (\(\alpha ''\)) stets \(\infty ^1\), welche vom Deformationsprozeß der Fläche \(S_0'\) unabhängig sind; für diese kann das Problem durch Quadraturen gelöst werden. Die Verbindung dieser Ergebnisse mit der Biegungstheorie ``(kinematisch) konjugierter Beharrungsnetze'' liefert keine weiteren Resultate; alle in dieser Weise erhaltenen zweiseitig streuenden Strahlsysteme gehören in die von \textit{Fubini} untersuchte Klasse (\S \,8, 9). Im Falle einseitiger Streuung werden wiederum zunächst die Fundamentalgleichungen der Kongruenzpaare aufgestellt unter der Annahme, daß die Strahlen der Kongruenzen (\(\alpha '\)) und (\(\alpha ''\)) mit einer Fläche \(S_0'\) der Schar (\(S'\)) und deren willkürlichen Deformationen invariant verknüpft bleiben (\S \,1, 2). Auch hier gibt es zwei wesentlich verschiedene Lösungen: Eine Fläche \(S_0'\) zunächst, abwickelbar auf eine willkürliche Drehfläche, wobei die Kongruenz (\(\alpha '\)) zwar stets eine Normalkongruenz, aber nicht immer die Normalenkongruenz dieser Fläche ist (unter Orthogonalität der Strahlenpaare aus (\(\alpha '\)) und (\(\alpha ''\))) (\S \,3, 4), Biegungsverwandte von Drehflächen sodann in gleicher Art und Weise wie die für die zweiseitig streuenden Kongruenzpaare schon gefundenen (\S \,5). Die Kongruenz (\(\alpha '\)) ist auch hier eine Normalkongruenz; unter gewissen Bedingungen gilt dies auch für die Kongruenz (\(\alpha ''\)). Beide Lösungen reduzieren sich in diesem Falle auf Quadraturen. Auch diese letzten Resultate gehören in die Klasse \textit{Fubini}scher Strahlsysteme.