On the foundations of infinitesimal geometry. (Q1438408)

\textit{E. Cartan} hat (Annales Ecole norm. (3) 40 (1923), 325-412; Acta Math. 48 (1926), 1-42; F. d. M. 49, 542 (JFM 49.0542.*)-544; 52) die Differentialgeometrie \textit{Riemann}scher Richtung mit dem Erlanger Programm in der Weise verknüpft, daß er infinitesimal benachbarte ``Tangentialräume'' einer Mannigfaltigkeit \(M_n\) durch Substitutionen einer Hauptgruppe miteinander verknüpfte. Verf. sieht die Notwendigkeit ein, eine Beziehung zwischen der Mannigfaltigkeit und ihren ``Tangentialräumen'' vorauszusetzen. In der \textit{projektiven} Differentialgeometrie (Fundamentalgruppe \(=\) projektive Gruppe) kann man als solche Beziehung etwa die zwischen Mannigfaltigkeit und \textit{projektivem Halbschmiegraum} wählen (im \((n +1)\)-dimensionalen Raum ist \(x^{n+1}=0\) projektiver Halbschmiegraum der \(M_n\), wenn in ihrer Darstellung \(x^{n+1}=a+a_i x^i +\frac {1}{2} a_{ik} x^i x^k+\cdots \) die Größen \(a\), \(a_i\) und \(\sum a_{ii}\) verschwinden). Bei den weiteren Untersuchungen wird dann Verf. auf die projektive Differentialgeometrie der \textit{Princeton}er Schule geführt: Von dem \(x\)-Koordinatensystem in der Mannigfaltigkeit ausgehend, legt er eindeutig ein Koordinatensystem in dem Halbschmiegraum fest. Zunächst kann man nämlich noch über eine projektive Transformation \[ \bar\xi ^i=\frac {\xi ^i}{1+\sum a_k\xi ^k} \] verfügen, die in erster Ordnung mit der Identität zusammenfällt; verlangt man aber, daß die im Halbschmiegraum gemessenen Volumina der infinitesimalen Vektoren bei der ``Parallelübertragung'' invariant bleiben, so ist das Koordinatensystem im Halbschmiegraum völlig bestimmt. Von hier aus kann man den Weg der \textit{Veblen}schen Theorie weiter gehen. Beschränkt man sich auf ``spezielle'' Mannigfaltigkeiten (\(\varGamma \) symmetrisch), so ist der projektive Zusammenhang durch die geodätischen Linien völlig bestimmt. Nach \textit{T. Y. Thomas} kann man den homogenen projektiven Koordinaten, die durch die obigen Überlegungen im wesentlichen festgelegt sind, einen Sinn geben und an ihnen die Transformationstheorie studieren. Schließlich kann man ganz ähnliche Überlegungen innerhalb der konformen Geometrie anstellen.