Sur la détermination d'un système orthogonal complet dans un espace de Riemann symétrique clos. (Q1438411)

E sei ein \textit{geschlossener Riemannscher} Raum, der eine (geschlossene) transitive Gruppe \(G\) von Bewegungen in sich zuläßt. Eine ``Reihe von Fundamentalfunktionen'' nennt Verf. ein System von Funktionen eines in \(E\) variablen Punktes, die sich (vermittels der Transformationen einer zu \(G\) isomorphen linearen Gruppe \(\varGamma \)) durch die Transformationen von \(G\) linear transformieren. Offenbar ist jede solche Reihe von Funktionen durch eine Funktion der Reihe bestimmt; Verf. zeigt, daß alle und nur die irreduziblen Reihen von Fundamentalfunktionen, die durch dieselbe lineare Darstellung \(\varGamma \) von \(G\) in sich transformiert werden, erhalten werden können, indem man ausgeht von den linearen Invarianten der Untergruppe \(\gamma \) von \(\varGamma \), die der ``Isotropiegruppe'' \(g\) in bezug auf den Anfangspunkt \(O\), d. h. der ``Stabilitätsuntergruppe'' von \(O\) in \(G\) entspricht. Vermittels rein algebraischer Betrachtungen zeigt Verf., daß die Reihen von Fundamentalfunktionen, die den einzelnen linearen Invarianten der Untergruppen \(\gamma \), die mit Hilfe aller irreduziblen linearen Darstellungen von \(G\) konstruiert werden, entsprechen, \textit{ein Orthogonalsystem in \(E\) bilden}; durch elegante Anwendung der Theorie der Integralgleichungen zeigt er, daß ein solches Orthogonalsystem \textit{vollständig} ist. Verf. geht dann zur Untersuchung des Falles über, daß \(E\) ein geschlossener \textit{symmetrischer Riemann}scher Raum ist (d. h. daß die Symmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes von \(E\) eine Isometrie ist). In diesem Falle kann jeder irreduziblen linearen Darstellung von \(G\) nur \textit{eine} Reihe von Fundamentalfunktionen entsprechen. Mehr in die Tiefe, bis zur wirklichen Konstruktion aller Reihen von Fundamentalfunktionen, führt Verf. die Untersuchung für die \textit{irreduziblen} geschlossenen symmetrischen Räume, in denen die umfassendste kontinuierliche Gruppe von Bewegungen \textit{einfach} ist. Die vielen interessanten Eigenschaften, die er erhält, sind Verallgemeinerungen von Eigenschaften aus der bekannten Theorie der sphärischen Funktionen von \textit{Laplace}. Diese Theorie entspricht dem Falle, in dem \(E\) ein ``elliptischer \textit{Hermite}scher'' Raum von einer (komplexen) Dimension ist; allgemeiner betrachtet Verf. als Anwendung der Theorie den Fall der elliptischen \textit{Hermite}schen Räume von \(n\) Dimensionen (die ausführlich untersucht sind in dem neueren Buch des Verf. ``Leçons sur la géométrie projective complexe'' (1931; F. d. M. 57), p. 235 u. folg.) und den der einfach zusammenhängenden sphärischen Räume von \(n\) Dimensionen.