Über eine mit den Hypertorsen verwandte Flächenklasse. (Q1438442)

Versteht man gemäß der Terminologie von \textit{Burstin} und \textit{Mayer} unter dem \(I_k\)-Raum einer \(l\)-dimensionalen ``Fläche'' \(F_l\) des euklidischen \(R_n\) den größten auf \(I_1,I_2,\ldots,I_{k-1}\) normal stehenden Unterraum des Raumes, welchen die aus der ``Flächendarstellung'' entspringenden Vektoren \(\dfrac {\partial x_i}{\partial y_p}\), \(\dfrac {\partial ^2x_i}{\partial y_p \partial y_q}\), \(\dfrac {\partial ^3x_i}{\partial y_p \partial y_q \partial y_r}\), \(\ldots \) bis einschließlich \(k\)-ter Differentiationsstufe aufspannen, versteht man ferner unter dem \((k - 1)\) den Krümmungstensor \(R_{p_1\ldots p_{k-1}p_k;q_1\ldots q_{k-1}q_k}\) den Ausdruck: \[ \sum _{\alpha \in I_k} (\alpha ) A_{p_1\ldots p_{k-1}p_k} \cdot (\alpha ) A_{q_1\ldots q_{k-1}p_k} - (\alpha ) A_{p_1\ldots p_{k-1}q_k} A_{q_1\ldots q_{k-1}p_k} \] und unter \((\alpha ) A_{p_1\ldots p_{k-1}p_k} \cdots \) usw. die Koeffizienten des in der \textit{Mayer-Burstin}schen Theorie der \(F_l\) zugeordneten Formensystems (vgl. die vorstehenden Referate sowie F. d. M. 54, 794 (JFM 54.0794.*)), so entsteht das Sonderproblem der Untersuchung sogenannter ``\(F_h\)-Flächen'', deren \(I_h\)-Raum eindimensional ist, und deren \((h-1)\)-te Krümmung verschwindet. Für \(h=2\) ergeben sich die von \textit{Burstin} und \textit{Mayer} bereits früher behandelten Hypertorsen \[ x_i (y_0,y_1,\ldots,y_{l-1})=x_i(y_0) + y_{k(k)} \xi^i(y_0) \qquad (i=1,2,\ldots,n,\;k=1,2,\ldots,h-1), \] unter welchen insbesondere für \(n = 3\), \(l = 2\) die gewöhnlichen Torsen enthalten sind. Verf. behandelt den nächstverwandten Fall (\(h = 3\)) sogenannter \(F_{(3)}\)-Flächen, deren \(I_3\)-Raum eindimensional ist, und deren zweite Krümmung identisch verschwindet. Vorausgeschickt wird der Satz: Ist der \(I_k\) einer \(F_l\) eindimensional, dann ist ihr \(I_{k+1}\) nulldimensional oder eindimensional; sind der \(I_k\) und der \(I_{k+1}\) eindimensional, dann verschwindet der \((k -1)\)-te Krümmungstensor. Sodann läßt sich auf der in Rede stehenden \(F_{(3)}\) ein spezielles Parametersystem \((y_0,y_1,\ldots,y_{l-1})\) angeben von der Beschaffenheit, daß die Teilflächen \(y_0=\) const der \(F_{(3)}\) in \((l_1+l_2-1)\)-dimensionalen Hyperebenen \(E_{l_1+l_2-1}\) liegen. Dabei bedeutet \(l=l_1\) die Dimension der ``Fläche'' und ihres \(I_1\)-Raumes, \(l_2\) die Dimension ihres \(I_2\). Eine gewisse einparametrige Schar von Hyperebenen \(E_{l_1+l_2-1}\) bildet nun eine \((l_1+l_2)\)-dimensionale Torse \[ X_i (y_0,y_1,\ldots,y_{l-1})=x_i(y_0) + y_k \frac {d^kx_i}{dy_0^k} \qquad (k=1,2,\ldots,l-1), \] aus welcher man durch Weglassen der letzten (der aufspannenden) Normalen die Torse niedrigster, nämlich \((l_1+l_2-1)\)-ter Dimension erhält, welche \(F_{(3)}\) noch enthält. Diese Einbettungseigenschaft ist eine charakteristische Eigenschaft der \(F_{(3)}\); insbesondere gibt es nur eine derartige Torse von \(l_1+l_2-1\) Dimensionen, welche eine vor gegebene \(F_{(3)}\) mit den Dimensionszahlen \(l_1\), \(l_2\) enthält. Jede in einer \(l\)-dimensionalen Hypertorse mit nichtverschwindendem \(I_2\) liegende Fläche \(F\), deren \(I_{12}\)-Raum (Raum der ersten und zweiten Ableitungsvektoren) \((l+1)\)-dimensional ist, ist eine \(F_{(3)}\). Analoge Sätze gelten im allgemeinen Fall einer \(F_{(h)}\), und sie sind analog beweisbar.