Sur la relation entre les courbures d'une courbe appartenant à une hypersurface donnée. (Q1438443)

\textit{B. Gambier} hat gefunden, daß man jeder Fläche \(F\) eine Gleichung \[ \boldsymbol \varPhi \,(\boldsymbol \varrho,\boldsymbol \varrho ',\boldsymbol \varrho '', \boldsymbol \varrho '''; \;\boldsymbol \tau,\boldsymbol \tau ', \boldsymbol \tau '',\boldsymbol \tau ''') =0\tag{1} \] zuordnen kann, die \textit{Gambier} als innere Gleichung (``équation intrinsèque d'une surface'') der Fläche bezeichnet, derart, daß 1. die Krümmung \(\boldsymbol \varrho \) und die Windung \(\boldsymbol \tau \) einer beliebigen Kurve, die auf \(F\) liegt, der Gleichung (1) genügen, und daß 2. eine beliebige Kurve, deren Krümmung und Windung der Gleichung (1) genügen, nur auf einer Fläche \(F^*\) liegen kann, die aus \(F\) durch eine Bewegung im Raume hervorgeht. Verf. verallgemeinert nun den \textit{Gambier}schen Begriff für eine Hyperfläche \(F_{m-1}\) von \(m - 1\) Dimensionen im euklidischen Raume \(E_m\). Schreibt man die verallgemeinerten \textit{Frenet}-Formeln in der Gestalt: \[ \begin{matrix}\l&\;\l&\;\,\l&\;\,\l&\;\,\l&\,\;\l&\,\;\l\\ \mathfrak t'&=\;\;\;* &\;\dfrac {1}{\varrho _1}\mathfrak n_1,&&&&\\ &&&&&&\\ \mathfrak n_1'&=-\dfrac {1}{\varrho _1}\mathfrak t&\;\;\;*\;\;&+\dfrac {1}{\varrho _2}\mathfrak n_2,&&&\\ &&&&&&\\ \mathfrak n_2'&=\;\;\;* &-\dfrac {1}{\varrho _2}\mathfrak n_1&\;\;\;*&+\dfrac {1}{\varrho _3}\mathfrak n_3,&&\\ &&&&&&\\ \;\;\cdot &\;\cdot \,\;\;\;\;\cdot &\;\;\;\;\cdot&\;\;\;\cdots &\;\;\;\;\;\cdot&&\\ &&&&&&\\ \mathfrak n_{m-2}'&=\;\;\;*&\;\;\;\,*&\;\;\;\cdots &-\dfrac {1}{\varrho _{m-2}}\mathfrak n_{m-3}&\;\;\;\;\;* &+\dfrac {1}{\varrho _{m-1}}\mathfrak n_{m-1}\\ &&&&&&\\ \mathfrak n_{m-1}'&=\;\;\;*&\;\;\;\,*&\;\;\;\cdots &\;\;\;\;\;\,*&-\dfrac {1}{\varrho _{m-1}}\mathfrak n_{m-2},& \end{matrix} \] so findet Verf. für die verallgemeinerte innere Gleichung von \(F_{m-1}\): \[ \boldsymbol \varPhi\,\Biggl(\varrho _1,\varrho _1',\ldots,\varrho _1 ^{\Bigl(m\frac{m+1}{2}-2\Bigr)}; \;\varrho _2,\varrho _2',\ldots,\varrho _2 ^{\Bigl(m\frac{m+1}{2}-3\Bigr)};\ldots ; \varrho _{m-1}^{\Bigl(m\frac{+1}{2}-m\Bigr)}\Biggr) =0.\tag{2} \] Hat man eine \(p\)-parametrige Schar von Hyperflächen \(F_{m-1}\), so kann man für die ganze Schar eine innere Gleichung aufstellen; dabei erhöht sich in (2) die Ordnung der Ableitung jedes \(\varrho _i\) um \(p\). Die Bedeutung der Gleichung (2) ist dann die, daß sie die notwendige Bedingung dafür darstellt, daß die Kurve \(\varrho _i=\varrho _i(s)\) auf der Hyperfläche \(F_{m-1}\) liegt. Verf. wendet dann seine allgemeine Methode zur expliziten Durchrechnung auf den Fall an, daß \(F_{m-1}\) eine Hyperkugel ist. Im Falle \(m = 4\) ergibt sich z. B. \[ \varrho _1^2 + \Bigl(\varrho _2\frac {d\varrho _1}{ds}\Bigr)^2 +\varrho _3 \Bigl[\frac {\varrho _1}{\varrho _2}+\frac {d}{ds} \Bigl(\varrho _2\frac {d\varrho _1}{ds}\Bigr)\Bigr]^2 =a^2 \] (\(a =\) Radius). Sieht man auch noch von der Größe des Radius \(a\) ab, so findet man (\(m = 4\)) \[ \varrho _3 \frac {d}{ds}\Bigl\{ \varrho _3 \Bigl[\frac {\varrho _1}{\varrho _2}+\frac {d}{ds} \Bigl(\varrho _2\frac {d\varrho _1}{ds}\Bigr)\Bigr]\Bigr\} + \varrho _2\frac {d\varrho _1}{ds} =0 \] als notwendige Bedingung dafür, daß die Kurve \(\varrho _i(s)\) auf einer Hyperkugel liegt. Auch für den Fall einer allgemeinen \((m-1)\)-dimensionalen Hyperkugel kann der Verf. explizite Angaben über ihre innere Gleichung machen. Zum Schluß wird untersucht, wie weit die für die Hyperkugel angegebenen notwendigen Bedingungen auch hinreichend dafür sind, daß eine gegebene Kurve \(\varrho _i(s)\) auf einer Hyperkugel liegt.