Über eine charakteristische Eigenschaft der allgemeinen Räume konstanter Krümmung mit geradlinigen Extremalen. (Q1438445)

Geht man von der Integralinvariante \[ s=\int _{t_0}^t F(x_1,x_2,\ldots,x_n; \;\dot x_1,\dot x_2,\ldots,\dot x_n)\,dt =\int _{t_0}^t F(x,\dot x)\,dt \] aus, und betrachtet man eine mit dieser ``Maßbestimmung'' versehene \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit, d. h. einen \(n\)-dimensionalen allgemein metrischen Raum, so entsteht die Frage, welche Eigenschaften ``geodätischer'' Abbildungen derartiger Räume auf den \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum \(R_n\), d. h. also Abbildungen, bei welchen die Extremalen von \[ \delta \int _{t_0}^t F(t)\,dt =0 \] in die Geraden des \(R_n\) übergehen, für Charakterisierungen spezieller allgemein metrischer Raumklassen von Bedeutung werden. Im \textit{Riemann}schen Falle, wo \(F^2\) durch eine quadratische Form gegeben ist, kennt man z. B. folgenden Satz: Die Transversalhyperebenen der Bildgeraden einer beliebigen geodätischen Linie eines \textit{Riemann}schen \(n\)-dimensionalen Raumes konstanter Krümmung haben eine eigentliche oder uneigentliche \((n - 2)\)-dimensionale Ebene gemeinsam, bilden also ein Büschel von Hyperebenen. Dabei ist unter einer Transversalhyperebene das Bild der geodätischen Hyperfläche, welche in einem Punkt einer geodätischen Linie zu dieser senkrecht steht, zu verstehen. Das erwähnte Büschel wird insbesondere uneigentlich (Parallelhyperebenenbüschel), sobald die Raumkrümmung identisch verschwindet (und umgekehrt). Nunmehr stellt Verf. einleitend die Frage: Welche \(n\)-dimensionalen allgemeinen Räume mit geradlinigen Extremalen besitzen die Eigenschaft, daß alle Transversalhyperebenen der Bildgeraden einer beliebigen Extremalen eine eigentliche oder uneigentliche \((n - 2)\)-dimensionale Ebene gemeinsam haben, also ein Büschel von Hyperebenen bilden? Und gibt die Antwort: Unter allen \(n\)-dimensionalen allgemeinen Räumen mit geradlinigen Extremalen werden durch die soeben ausgesprochene Transversalitätseigenschaft diejenigen konstanter Krümmung charakterisiert, d. h. jene, für welche die vom Verf. eingeführte Verallgemeinerung des \textit{Riemann}schen Krümmungsmaßes (vgl. \textit{L. Berwald}, M. Z. 25 (1926), 40-73, \S \,5; F. d. M. 52) konstant ist. Insbesondere gilt noch der folgende speziellere Satz: Die \textit{Minkowski}sche Geometrie (mit affinem Zusammenhang und identisch verschwindender Krümmung) sowie die Geometrie der ``spezifischen Maßbestimmung'' \[ F=\frac {1}{2k}\varrho \qquad (\varrho >0, \;k>0) \] sind die einzigen Geometrien mit geradlinigen Extremalen von der Eigenschaft, daß die Transversalhyperebenen einer und derselben Bildgeraden alle parallel sind. Für \(n = 2\) war dieser Sachverhalt bereits früher von \textit{P. Funk} abgeleitet worden (Math. Ann. 101 (1929), 226-237; folgendes Referat), welcher auch zuerst die Bezeichnung ``spezifische Maßbestimmung'' geprägt hat und im Ausdruck derselben unter \(k^2\) die negative Krümmung -- \(\mathfrak K\) und unter \(\varrho \) eine reelle wesentlich positive Lösung der Differentialgleichung \[ \frac {\partial \omega }{\partial x_i} -\omega \,\frac {\partial \omega }{\partial \dot x_i} =0 \] versteht, welche Funktion von \(x_i\), \(\dot x_i\) und in den \(\dot x_i\) positiv-homogen von der Dimension Eins ist. Der Beweis des allgemeinen Satzes zerfällt in den ``notwendigen'' und ``hinreichenden'' Teil: Es wird zunächst die Konstanz des verallgemeinerten Krümmungsmaßes als eine notwendige Bedingung für das Bestehen der geforderten Transversalität\-seigenschaft nachgewiesen, sodann gezeigt, daß jeder allgemeine Kaum konstanter Krümmung mit geradlinigen Extremalen jene Transversalitätseigenschaft besitzt. Für diesen zweiten Teil des Beweises benutzt Verf. die Ergebnisse einer seiner früheren Arbeiten, worin die Bestimmung aller \(n\)-dimensionalen Geometrien konstanter Krümmung mit geradlinigen Extremalen durchgeführt worden war (\textit{L. Berwald}, M. Z. 30 (1929), 449-469; JFM 55.0405.*-406). (IV 15, V 1.)