Über Geometrien, bei denen die Geraden die Kürzesten sind. (Q1438446)

Verf. stellt zunächst die Frage: Welche infinitesimal-geometrische Forderung muß man erheben, damit unter den Geometrien \(\mathfrak G\), die die Forderung \(\mathfrak g\) der Geradheit der Kürzesten befriedigen, die bekannte \textit{Hilbert}sche, Geometrie im Innern einer Eilinie zustandekomme? Bei ihrer Beantwortung schreibt er die in \(\mathfrak G\) waltende Maßbestimmung \[ s= \int \varPhi \,(x,y,\vartheta )\,dl, \;\;\frac {dx}{dl}=\dot x=\cos \vartheta, \;\;\frac {dy}{dl}=\dot y=\sin \vartheta ;\tag{1} \] \(l\) ist die euklidische Entfernung nach einer geeigneten Abbildung \(\mathfrak A\) von \(\mathfrak G\) auf eine euklidische Ebene; die Grundfunktion \(\varPhi \) hat wegen \(\mathfrak g\) einer gewissen partiellen Differentialgleichung zu genügen. Das zu \(\mathfrak G\) gehörige innere Krümmungsmaß \(\mathfrak K\) läßt sich als \(\mathfrak K=\frac {1}{2}[l]_s\) darstellen, wo die eckige Klammer den \textit{Schwarz}schen Differentialausdruck bedeutet. Jetzt stelle man die \textit{Forderung} \(\mathfrak k\), daß \(\mathfrak K\) einen festen negativen Wert -- \(k^2\) habe; dann führt die Integration der Differentialgleichung \(\frac {1}{2}[l]_s=-k^2\) zu der Grundfunktion \[ \varPhi = \frac {1}{2k}\,\Bigl( \frac {1}{m_2-l} + \frac {1}{l-m_1}\Bigr),\tag{2} \] wo \(m_1\), \(m_2\) feste Werte sind, \(m_1<s<m_2\). Die Größen \(m_2-l = r\), \(l-m_1=r\) lassen sich als Fahrstrahlen deuten, die von dem betrachteten Linienelemente in dessen Richtung bzw. in der entgegengesetzten zu je einer festen Kurve, den Mänteln \(\mathfrak M_1\), \(\mathfrak M_2\) führen. Verf. weist dazu nach, daß \(r\), \(\bar r\) gewissen partiellen Differentialgleichungen genügen, durch die er vorher solche Fahrstrahlen als Funktionen des Ausgangselementes gekennzeichnet hat. Nach (1), (2) ist die Entfernung zweier Punkte \(P\), \(Q\) \[ s= (2k)^{-1} \log (\mathfrak P\mathfrak Q\mathfrak Y_1\mathfrak Y_2), \] wo \(\mathfrak P\), \(\mathfrak Q\) die Bilder von \(P\), \(Q\) vermöge \(\mathfrak A\), ferner \(\mathfrak Y_1\mathfrak Y_2\) die Schnittpunkte der Geraden \(\mathfrak P\mathfrak Q\) mit \(\mathfrak M_1\), \(\mathfrak M_2\) sind und \((\mathfrak P\mathfrak Q\mathfrak Y_1\mathfrak Y_2)\) das Doppelverhältnis der vier Punkte ist. Nunmehr kommt \textit{Hubert}s Geometrie zustande, wenn man den Forderungen \(\mathfrak g\), \(\mathfrak k\) das ``starke Monodromieaxiom'' hinzufügt, kraft dessen \(\mathfrak M_1\) und \(\mathfrak M_2\) in die eine Eilinie \(\mathfrak M\) zusammenrücken. Wenn einer der Mäntel \(\mathfrak M_1\) ins Unendliche rückt, so ergibt sich \textit{Funk}s Geometrie \(\mathfrak F\) der spezifischen Maßbestimmung, deren Bogenelement aus dem euklidischen durch Division mit dem Abstande von \(\mathfrak M_2\) entsteht. Daraus, daß alle Eichkurven des zugehörigen Integrals (1) übereinstimmen, schließt man, daß sich die Linien gleichen Abstandes von einer Geraden durch \(\mathfrak A\) in euklidische Parallelen abbilden. Umgekehrt lassen sich durch diese Eigenschaft und durch \(\mathfrak g\) die Geometrie \(\mathfrak F\) und die \textit{Minkowski}sche Geometrie kennzeichnen. Verf. bestimmt schließlich alle Geometrien \(\mathfrak G\) vom \textit{Krümmungsmaß} \(\mathfrak K=0\). Es sind dies die Geometrie \textit{Minkowski}s und eine Geometrie mit der Grundfunktion \[ \varPhi = \frac {\varPsi (x+r\dot x,y+r\dot y)}{r^2\,\sin \chi}; \] hier bedeutet \(\chi \) den Winkel zwischen \(r\) und dem Mantel \(\mathfrak M\), \(\varPsi \) eine willkürliche Funktion ihrer beiden Argumente. (IV 15, V 1.)