Verallgemeinerung des Begriffs der Rollkurven. I. (Q1438450)

Die Erklärung des Begriffs Rollkurve ist kinematischer Natur, d. h. die Theorie der (ebenen) Rollkurven ist Gegenstand der bewegungsinvarianten Geometrie. Setzt man an Stelle der (ebenen) Bewegungsgruppe eine \(r\)-gliedrige Transformationsgruppe \(\mathfrak G\) (\(r > 2\)), an Stelle des Bogenelements \(ds\) der Bewegungsgruppe das invariante ``Bogenelement'' der Gruppe \(\mathfrak G\) (von der Ordnung \(r-2\)), \[ ds=\omega \,(x,y,y',\ldots,y^{(r-2)})\,dx, \] und definiert man das Analogon des Rollprozesses zweier Kurven \(K_1\) und \(K_2\) in der Gruppe \(\mathfrak G\) als ``bogentreue Abbildung \(ds_1\to ds_2\) vermöge einer der \(\infty ^1\) Transformationen \(T_{ds_1}^{ds_2}\) der Gruppe \(\mathfrak G\) (eine solche gibt es immer, wenn \(\mathfrak G\) der \textit{Pick}schen Transitivitätsbedingung genügt), so nennt Verf. den Ort der Punkte \(\mathfrak P=\mathfrak P_0T_{ds_1}^{ds_2}\) ``verallgemeinerte Rollkurve''. Daran schließt sich nun die Bestimmung einer verallgemeinerten Rollkurve aus den natürlichen Gleichungen von \(K_1\) und \(K_2\) (die beiden nächsthöheren Differentialinvarianten \(I\) \((r-1)\)-ter Ordnung (``Krümmung'') vorgegeben als Funktionen des ``Bogens''). Handelt es sich dabei um Kurven konstanter Krümmung (\(I=\) const), so hat man verallgemeinerte Epizykloiden vor sich. Als Beispiele werden bewegungsinvariante, äquiforme und Affin(epi)zykloiden behandelt. (IV 8.)