Verallgemeinerung des Begriffs der Rollkurven. II. (Q1438451)

Nach einer gewissen Modifikation der früher gegebenen Erklärung verallgemeinerter Rollkurven (die Rollkurve hängt noch von einer frei zusätzlichen Transformation der Gruppe ab) gibt Verf. zunächst weitere terminologische Beiträge durch Berücksichtigung des Falles, wo eine allgemeine \(I\)-Kurve auf einer speziellen rollt (im Sinne der Gruppe). Dabei handelt es sich stets um die Integration der \textit{Pick}schen Identitätsbedingungen, also für projektive Gruppen um die Integration eines linearen Differentialsystems mit konstanten Koeffizienten; hat dessen charakteristische Gleichung nur einfache Wurzeln, so ergeben sich allgemeine, andernfalls spezielle \(I\)-Kurven. Epizykloiden der zuletzt genannten Art nennt Verf. Zykloiden unter Betonung der Befreiung dieser Auffassung von den ``Fesseln'' der euklidischen Geometrie. Für das weitere wird vor allem die sogenannte \textit{Bateman}sche Gruppe von Bedeutung, welche (in der Ebene) die Mongesche Gleichung \[ dy^2-c^2dx^2 = 0 \] invariant läßt. Wächst in der zugehörigen Gruppentafel der Parameter c über alle Grenzen, so entsteht die ausgeartete \textit{Bateman}sche Gruppe. Die \(I\)-Kurven dieser Gruppe fallen mit den geodätischen Linien der Gruppe, d. h. mit den Extremalen des Variationsproblems des ``Bogens'' der Gruppe zusammen (\((y_3^{-\frac {1}{2}})''' = 0\)). Aber die ausgeartete \textit{Bateman}sche Gruppe ist nicht die einzige ihrer Art : Verf. findet (mit Angabe der Gruppentafel) vier ebene Gruppentypen, für welche geodätische und \(y\)-Kurven zusammenfallen, und bestimmt die jeweiligen (endlichen) Kurvengleichungen. Den Schluß seiner Ausführungen widmet Verf. den Rollkurven der eben erwähnten Gruppen, insbesondere der Zykloide, welche durch Abrollen einer allgemeinen \(I\)-Kurve auf einer speziellen, nämlich einer kubischen Parabel im Sinne der ausgearteten \textit{Bateman}schen Gruppe, entsteht. (IV 8.)