Sur les surfaces dont le réseau conjugué de déformation projective est formé par les lignes de Segre-Darboux. (Q1438483)

Die Präzisierung der Begriffe gewöhnliche, konforme, projektive, ... Deformation einer Fläche verdankt man \textit{E. Cartan} (Annales École nom. (3) 37 (1920), 259-356; F. d. M. 47, 656 (JFM 47.0656.*)-657). Nach dieser Theorie heißen zwei Flächen (\(S\)) und (\(\varSigma \)) verbiegbar von der Ordnung \(h\) relativ zur Fundamentalgruppe \(G\), wenn es möglich ist, zwischen beiden Flächen eine Punktkorrespondenz mit folgender Eigenschaft anzugeben: Zu jedem beliebig gegebenen Punkt \(M\) der ersten Fläche (S) existiert eine Transformation (aus \(G\)) der zweiten (\(\varSigma \)) in eine dritte (\(\varSigma '\)), so daß (\(\varSigma '\)) mit (\(S\)) in \(M\) eine analytische Berührung \(h\)-ter Ordnung hat. Die Untersuchung ausgezeichneter Flächenrichtungen, welchen im Falle einer projektiven Fundamentalgruppe Berührungen höherer Ordnung als der zweiten zukommen, führt auf die sogenannten ``konjugierten Netze projektiver Deformationen''. Nachdem bereits \textit{E. Cartan} den Fall asymptotischer konjugierter Netze projektiver Deformationen untersucht hat, stellt Verf. die Frage, unter welchen Umständen die Nullinien der \textit{Darboux-Segre}schen kubischen Differentialform als derartige konjugierte Netze in Frage kommen. Die Untersuchung, welche formal und methodisch weitgehenden Gebrauch von \textit{Cartan}s Theorie \textit{Pfaff}scher Systeme macht, gelangt zu dem Ergebnis: Die Flächen, deren ``konjugiertes Netz projektiver Deformationen'' durch die \textit{Segre-Darboux}schen Kurven gegeben ist, bestehen aus Drehflächen und aus einer vierparametrigen Mannigfaltigkeit von Nichtdrehflächen. Jede dieser \(\infty ^4\) Flächen ist projektiv deformierbar auf \(\infty ^1\) Drehflächen. Jede Drehfläche ist überdies auf jede Drehfläche projektiv deformierbar. Es gibt jedoch auch Drehflächen, welche projektive Deformationen gestatten, die selbst keine Drehflächen mehr sind.