Über dynamische Beanspruchung elastischer Systeme. (Q1438719)

Verf. betrachtet zunächst ein elastisches System, dessen natürliche Konfiguration eine stabile Gleichgewichtslage (\(q_h=0\)) ist, so daß die Deformationsarbeit \(\varOmega\) eine positive quadratische Form der \(q_h\) ist; es unterliege konstanten Belastungen \(B_h\) deren Potential \(U=\sum B_hq_h\) sei; unter deren Einfluß nimmt das System eine neue Gleichgewichtslage mit der statischen Beanspruchung \(\varOmega\) an; das absolute Minimum von \(\varOmega-U\) ist dann \(-\varOmega_s\). Als Maß für die Sicherheit wird nun die maximale dynamische Beanspruchung eingeführt; eine obere Grenze \(\varOmega\) für diese ergibt sich aus der Energiegleichung, und zwar zu \[ \varOmega_d=\mu^2 \varOmega_s, \quad \mu = 1+\sqrt{1+\dfrac E \varOmega_s}, \tag{1} \] wenn \(E\) die Gesamtenergie bezeichnet; \(\mu\) nennt Verf. den Sicherheitskoeffizienten. Ist das System im Anfang in Ruhe mit \(\varOmega= U=0\), so findet man speziell \(\mu=2\); befand es sich dagegen gerade vor der Einwirkung der Belastungen \(B_h\) im Gleichgewicht unter andern Belastungen \(\alpha \cdot B_h\) (\(\alpha=\) const), so ist \(\varOmega_d=\alpha^2\varOmega_s\) für \(\alpha \geqq 1\), \(\varOmega_d=(2-\alpha)^2\varOmega_s\) für \(\alpha<1\); somit hat das Auftreten von Zusatzbelastungen eine Erhöhung der dynamischen Beanspruchung auf höchstens \(4\varOmega_s\) zur Folge. Wirken auf das System noch eingeprägte Kräfte mit den Komponenten \(Q_h\), so tritt zur Energie die von diesen im Zeitintervall \((0,\tau)\) geleistete Arbeit \(A\), für deren Maximum \(A^*\) sich aus der \textit{Schwarz}schen Ungleichung \({A^*}^2\leqq \tau^2 \bar \gamma \bar T\) findet, wo \(\bar \gamma\) den Mittelwert des statischen Zwanges \(\gamma=\sum Q_hQ^h\) und \(\bar T\) den Mittelwert der kinetischen Energie \(T\) bedeutet. Für die obere Grenze der dynamischen Beanspruchung gelten wieder die Formeln (1), in denen \(E\) durch \[ E+\tau\cdot W, \quad W = \tfrac 12\tau \bar\gamma + \sqrt{\bar\gamma (E+\varOmega_s + \tfrac 14 \tau^2\bar\gamma)} \] zu ersetzen ist. Ist insbesondere vor Einwirkung der \(Q_h\) Gleichgewicht vorhanden, so wird \[ \mu=1+\tau \sqrt{ \frac{\bar\gamma}{\varOmega_s}}. \] Verf. wendet diese Formeln auf die Beanspruchung einer Brücke durch einen fahrenden Eisenbahnzug an; ist \(p\) das Gewicht der Brücke, \(p'\) das der Last pro Längeneinheit, \(\tau\) die Gesamtdauer der Überfahrt und \(T_1\) die Fundamentalperiode der Brückenschwin- gungen, so ist \[ \mu= 1 + 11,38 \cdot \frac {p'}p\cdot \frac{\tau}{T_1}. \] Auch der Einfluß kleiner Unebenheiten der Gleise läßt sich mit diesen Formeln erledigen.