La teoria dei funzionali applicata ai fenomeni ereditari. (Q1438901)

Phänomene in einem Medium, deren Entwicklung in einem bestimmten Augenblick nicht nur von dem Zustand des Mediums in diesem Augenblick, sondern auch von den in der Vergangenheit durchlaufenen Zuständen des Mediums abhängig ist, bezeichnet Verf. als hereditäre. Die hereditären Phänomene werden durch Integrodifferentialgleichungen oder noch allgemeinere Funktionalgleichungen reguliert. Die Funktion \(\varrho(t)\) (``hereditäre Geschichte'') \[ \varrho(t) = aq(t)+\int\limits_0^T\varPhi(\tau)q(t-\tau)\,d\tau \tag{1} \] hängt von dem gegenwärtigen Wert der Funktion \(q(t)\) (``primitive Geschichte'') und von ihren Werten in dem vorhergehenden Zeitintervall \((t-T,t)\) ab, und zwar in diesem Falle in linearer Weise; allgemein wird eine solche hereditäre Abhängigkeit durch ein Funktional \[ F\left|\left[q \begin{pmatrix} \l \;& \l \\ & T\\ t \;- & \tau \\ & 0\end{pmatrix} \right]\right| = F\left|\left[q \begin{pmatrix} t \\ \tau \\ t-T \end{pmatrix} \right]\right| \] gegeben. Eine Heredität solcher Art bezeichnet Verf. als beschränkte und nennt \(T\) ihre Dauer. Von ihr zu unterscheiden ist die ``vollständige Heredität'', die gegeben ist durch \[ F\left|\left[q \begin{pmatrix} \l \;& \l \\ &\infty \\ t \;- & \tau \\ & 0\end{pmatrix} \right]\right| \] und die ``seit \(t_0\) datierende'' Heredität, deren allgemeinster Ausdruck \[ F\left|\left[q \begin{pmatrix} t\\ \tau \\ t_0 \end{pmatrix} \right]\right| \] ist. Die das Hereditätsgesetz in (1) charakterisierende Funktion \(\varPhi(\tau)\) kann auch noch von \(t\) abhängen; dann ist das Hereditätsgesetz zeitabhängig. Verf. zitiert aus seinen früheren Arbeiten das ``Zyklenprinzip'': Entsprechen periodischen Ursachen periodische Hereditätswirkungen, so ist die Heredität zeitunabhängig, und umgekehrt. Im Hauptteil der Arbeit wird dann untersucht, welche Gestalt das Energieprinzip im Falle hereditärer Phänomene annimmt, und zwar beim eindimensionalen harmonischen Oszillator und beim isotropen homogenen elektromagnetischen Feld. Für beide Fälle weist Verf. die Existenz eines Funktionals nach, dessen analytischer Ausdruck angegeben wird, der nur von dem (hereditär begriffenen) Zustand des Systemes abhängt, und dessen Zunahme beim Übergang des Systemes von einem Zustand in einen anderen im mechanischen Falle immer geringer ist als die von den äußeren Kräften geleistete Arbeit, im elektrischen Falle geringer ist als die Differenz der von außen einströmenden elektromagnetischen Energie und der im Innern entwickelten \textit{Joule}schen Wärme. Diese Funktionale, die Verf. mechanische bzw. elektromagnetische Energie des hereditären Systems nennt, sind jedoch nicht die einzigen, die die erwähnten Eigenschaften haben. (IV 7.)