Über einen kombinatorischen Satz von Macaulay und seine Anwendungen auf die Theorie der Polynomideale. (Q1439182)

\textit{Macaulay} hat einen rein kombinatorischen Satz gefunden (1927; F. d. M. 53, 104 (JFM 53.0104.*)), mit dessen Hilfe er die \textit{Hilbert}sche charakteristische Funktion und neue Sätze über Polynomideale herleiten konnte. Anstelle des komplizierten Beweises von \textit{Macaulay} wird hier ein wesentlich einfacherer und kürzerer Beweis angegeben. Ferner werden die wichtigsten Anwendungen zum Teil in neuer Form hinzugefügt, wobei sich noch ergibt, daß auch der \textit{Hilbert}sche Basissatz eine einfache Konsequenz des \textit{Macaulay}schen Satzes ist. Der Satz von \textit{Macaulay} lautet folgendermaßen: Die Potenzprodukte \(l\)-ten Grades von \(n\) Veränderlichen \(x_1\), \(x_2\), \dots, \(x_n\) seien lexikographisch geordnet. \(A\) sei eine beliebige natürliche Zahl. Die \(A\) ersten Potenzprodukte \(l\)-ten Grades multipliziert man der Reihe nach mit \(x_1\), \(x_2\), \dots, \(x_n\). Die Anzahl der auf diese Weise entstehenden, voneinander verschiedenen Potenzprodukte ist, wie man leicht sieht, von \(l\) unabhängig; man nenne sie \(A^{(n)}\). Nun sei ferner eine Menge von \textit{irgend} \(A\) Potenzprodukten \(l\)-ten Grades der \(x_i\) gegeben, und für sie sei die Zahl \(F\) ebenso definiert wie \(A^{(n)}\) für die Menge der \(A\) ersten Potenzprodukte. Dann ist \(F\geqq A^{(n)}\). (III 5, 7.)