Über affektfreie Gleichungen. (Q1439189)

Man kann nach einer Bemerkung von \textit{Perron} (1923; F. d. M. 49, 49-50) die Konstruktion von Gleichungen ohne Affekt auf reine Irreduzibilitätsfragen zurückführen. Diese Tatsache benutzt Verf. im Beweis des ersten Hauptsatzes seiner Arbeit: ``Es seien \(\mathfrak p_0\), \(\mathfrak p_1\), \dots, \(\mathfrak p_{n-2}\) verschiedene Primideale eines algebraischen Zahlkörpers \(k\) und \(\pi_i\) eine genau durch \(\mathfrak p_i\) teilbare und zu den übrigen \(\mathfrak p_j\) teilerfremde Zahl aus \(k\) (\(i,j=0,\ldots,n-2\); \(i\neq j\)). Ist dann \[ \begin{aligned} f(x)&=x^n+\pi_0^{e_{0,1}}\cdots \pi_{n-2}^{e_{n-2},1} \alpha_1x^{n-1}+\cdots +\pi_0^{e_0,n} \ldots \pi_{n-2}^{e_{n-2},n}\alpha_n, \tag{1} \\ e_{i,j}&=1 \;(j=1,2, \ldots,n -i; \quad i=0,1,\ldots,n -2), \\ e_{i, n-i+l}&=1+\dfrac{l\cdot (l+1)}2 \quad (l=1,2,\ldots,i), \end{aligned} \] so besitzt die Gleichung \(f(x)=0\) in \(k\) keinen Affekt, wenn die Zahlen \(\alpha_i\) relativ prim zu \(\mathfrak p_0\) \dots \(\mathfrak p_{n-2}\) aus \(k\) gewählt werden.'' Als Irreduzibilitätskriterien dienen Sätze über \textit{Newton}sche Polygone. Durch Gleichungen der Form (1) kann man beliebige Gleichungen mit Koeffizienten aus einem beliebigen reellen Zahlkörper approximieren, so daß man hier leicht einen Satz von \textit{Bauer} (Math. Ann. 64 (1907), 325-327; F. d. M. 38, 119 (JFM 38.0119.*)) über die Dichte der Gleichungen ohne Affekt beweist. Für komplexe Zahlkörper gibt Verf. eine einfache Verallgemeinerung dieses Satzes an.