Über Maximalbereiche von ganzzahligen Funktionen. (Q1439194)

Ist \(\mathfrak Z\) ein Bereich von ganzzahligen Polynomen, Potenzreihen oder Quotienten solcher in Veränderlichen \(x_1; x_2, \ldots, x_n\), so heißt ein Unterbereich von \(\mathfrak Z\) Maximalbereich, falls er mit \(g(x)\) auch \(ag (x)\) enthält, wobei \(a\) eine ganze rationale Zahl bedeutet. Jeder Integritätsbereich \(\mathfrak I\) in \(\mathfrak Z\) erzeugt einen eindeutig bestimmten maximalen \(\mathfrak M(\mathfrak I)\), der aus allen den Elementen \(g(x)\) von \(\mathfrak Z\) besteht, für die es eine ganze Zahl \(a \neq 0\) gibt, so daß \(ag (x)\) zu \(\mathfrak I\) gehört. Ist nun \(\mathfrak I\) ein endlicher Integritätsbereich, d. h. besteht er aus allen ganzzahligen Polynomen endlich vieler Funktionen \(f_i(x), \ldots, f_r(x)\), so untersucht Verf. die Frage, was sich über die Nenner \(a\) des maximalen \(\mathfrak M(\mathfrak I)\) aussagen läßt. \(\mathfrak Z\) bedeutet dabei den Bereich aller ganzzahligen Polynome, Potenzreihen oder Quotienten solcher, die keine anderen als die in den \(f(x)\) auftretenden Nenner oder deren Potenzen enthalten. Die Nenner \(a\) lassen sich dann stets so wählen, daß nur eine endliche Anzahl verschiedener Primzahlen in ihnen aufgeht. Dabei hat man im Falle der Potenzreihen noch die zusätzliche Voraussetzung zu machen, daß nur algebraische Abhängigkeiten zwischen den Basiselementen \(f(x)\) bestehen. Dieser Satz läßt sich auch mutatis mutandis für algebraische Zahlkörper und Primideale dieses Zahlkörpers aussprechen: Ist die ganze algebraische Zahl \(\alpha\) aus \(K\) durch keines der endlich vielen Ausnahme-Primideale teilbar, so liegt mit \(\alpha g(x)\) in \(\mathfrak I, g (x)\) in \(\mathfrak Z\), schon \(g(x)\) in \(\mathfrak I\). Sind \(\lambda _1, \ldots, \lambda_s\) ganze Zahlen aus \(K\) derart, daß jedes durch eines und nur eines der Ausnahme-Primideale, aber nicht durch dessen Quadrat teilbar ist, so genügen als Nenner \(\alpha \) für \(\mathfrak M (\mathfrak I)\) die Potenzprodukte der \(\lambda\) (III 5, 7.)