On special groups (Q1439216)

Die Untergruppen einer speziellen Gruppe (für die Definition s. das vorstehende Referat) sind wieder speziell. Um nachzuweisen, daß eine Gruppe \(\mathfrak G\) speziell ist, kann man also einen Induktionsschluß der folgenden Art anwenden: Man nimmt an, daß alle Untergruppen von \(\mathfrak G\) speziell sind, und leitet einen Widerspruch her zwischen den Eigenschaften von \(\mathfrak G\) und den Eigenschaften der nicht-speziellen Gruppen, deren sämtliche Untergruppen speziell sind (solche nicht-speziellen Gruppen hat \textit{O. Schmidt} untersucht; s. das vorstehende Referat). Mit Hilfe dieser Schlußweise gelangt Verf. zu folgenden Sätzen: 1. Die Gruppe \(\mathfrak G\) sei von der Ordnung \(p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_l^{\alpha_l}\), und ihre Kommutatorgruppe habe die Ordnung \(p_1^{\omega_1} p_2^{\omega_2}\ldots p_k^{\omega k}\) \( (k \leq l)\); wenn dann für \(0 < \beta _i\leqq \omega _i\) \[ p_i ^{\beta _i}\not \equiv 1\pmod{p_j}\quad [i = 1, 2, \ldots, k;\;j = 1, 2, \ldots, l] \] gilt, so ist \(\mathfrak G\) eine spezielle Gruppe. 2. Wenn für die Gruppe \(\mathfrak G\) der Ordnung \(p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha _k}\) für \(0 < \beta _i \leq \alpha_i\) \[ p_i ^{\beta _i}\not \equiv 1\pmod {p_f}\quad [i, j = 1, 2, \ldots, k] \] gilt, so ist \(\mathfrak G\) eine spezielle Gruppe. 3. Die (nicht notwendig sämtlich voneinander verschiedenen) Primzahlen \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) seien die Indices der Hauptreihe von \(\mathfrak G\); wenn für jeden Primteiler \(p'\) der Ordnung der Kommutatorgruppe von \(\mathfrak G\) \[ p' \not \equiv 1\pmod{p_i}\quad [i, = 1, 2, \ldots, k] \] gilt, so ist \(\mathfrak G\) eine spezielle Gruppe. 4. \(G\) ist eine spezielle Gruppe, wenn die Indices einer Hauptreihe von \(G\) eine nicht zunehmende Folge bilden.