Sur un théorème de la théorie des caractères. (Q1439223)

Man habe eine Gruppe \(G\) der Ordnung \(N, r\) sei die Anzahl der Klassen konjugierter Elemente in \(G\). Unter \(G'\) verstehe man eine beliebige Untergruppe von \(G\). \(N'\) und \(r'\) mögen für \(G'\) die gleiche Bedeutung haben wie \(N\) und \(r\) für \(G\). Alle verschiedenen irreduziblen Darstellungen von \(G\) durch lineare Substitutionen seien bezeichnet mit \[ \varGamma_1, \varGamma_2, \ldots, \varGamma_r, \] wobei \(\varGamma_1\) die Einheitsdarstellung sei. \(\chi_S^u\) sei der Charakter des Elementes \(S\) aus der Darstellung \(\varGamma _u\). Die verschiedenen irreduziblen Darstellungen von \(G'\) mögen \[ \gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_{r'} \] sein, wobei auch \(\gamma_1\) die Darstellung durch die 1 sei. Unter \(\psi_P^v\)verstehe man entsprechend den Charakter des Elements \(P\) der Gruppe \(G'\) in der irreduziblen Darstellung \(\gamma_v\). Die Gesamtheit der Matrizen in der Darstellung \(\varGamma_u\), die Elementen der Untergruppe \(G'\) entsprechen, stellt eine Gruppe dar, die zugleich eine Darstellung der Untergruppe \(G'\) ist, und die reduzibel oder irreduzibel sein kann. Diese Darstellung von \(G'\) sei mit \(\varGamma_u^{G'}\) bezeichnet. Falls nun \(\varGamma_u^{G'}\) reduzibel ist. kann man es in der Gestalt \[ \varGamma_u^{G'}=\sum _{v=1}^{r'} k_{uv}\gamma _v \] schreiben, wobei dann \(k_{uv}\) angibt, wie oft der irreduzible Bestandteil \(\gamma v\) in der Gruppe \(\varGamma_u^{G'}\) vorkommt. Verf. beweist dann in der vorliegenden Arbeit den folgenden Satz: Man nehme für \(G'\) eine invariante Untergruppe von \(G\). Wenn dann \(\varGamma_u^{G'}\) eine reduzible Darstellung von \(G'\) ist, so sind entweder alle irreduziblen Bestandteile von \(\varGamma_u^{G'}\) verschieden von der Einsdarstellung, oder sie sind alle gleich dieser Darstellung. Oder in Formeln: sobald \(k_{u1} > 0\) ist, folgt \[ k_{u2} =k_{u3} = \cdots = k_{ur'} = 0 \quad (u = 2, 3, \ldots, r). \] Beim Beweise dieses Satzes benutzt Verf. eine \textit{Frobenius}sche Beziehung, die einen Zusammenhang gibt zwischen den Charakteren einer Gruppe und den Charakteren einer beliebigen von ihren Untergruppen: \[ N'\sum _{u=1}^r k_{uv}\chi ^u_S=\sum _{u, P} \chi _S^u \chi ^u_{P^{-1}}\psi ^v_P. \] Hierbei durchlaufe \(P\) alle Elemente der Untergruppe \(G'\) von \(G\). \(S\) sei ein Element von \(G\). Außerdem wird beim Beweise noch die bekannte Beziehung \[ \sum_u \chi_S^u \chi^u_{p^{-1}}=\dfrac{N}{hP} \;\;\text{oder} \;\;0 \] herangezogen. Es ergibt sich ferner das bekannte Resultat, daß es wenigstens eine irreduzible Darstellung von \(G\) gibt, bei der jedem Element des Normalteilers \(G'\) die Einheit dieser Darstellung entspricht. Außerdem zeigt sich, daß der Index des Normalteilers \(G'\) von \(G\) sich stets schreiben läßt als Summe von Quadraten von Graden gewisser irreduzibler Darstellungen von \(G\).