Teoria delle sostituzioni che operano su una infinità numerabile di elementi. III. (Q1439227)

In dieser dritten Mitteilung (vgl. F. d. M. 53, 110 (JFM 53.0110.*); 54, 151) werden zunächst die Transitivitätseigenschaften von Gruppen und Pseudogruppen von Permutationen einer Menge \(I\) von abzählbar unendlich vielen Symbolen behandelt. Eine Gruppe heißt unendlich stark transitiv vom Grad \(m\), wenn es möglich ist, jede Teilmenge von \(I\), deren Komplement aus \(m\) Elementen besteht, durch eine Permutation der Gruppe in jede andere derartige Teilmenge in vorgeschriebener Reihenfolge überzuführen. Dabei darf \(m\) auch unendlich sein. Es wird u. a. gezeigt: Ist eine Gruppe unendlich stark transitiv von irgendeinem Grad, so handelt es sich um die Gruppe \textit{aller} Permutationen von \(I\). Nach Untersuchung von verschiedenen Arten von Intransitivität und von Primitivität von Gruppen werden dann spezielle Gruppen behandelt. So wird von der Gruppe aller Permutationen von \(I\) bewiesen, daß sie keine echte Untergruppe von endlichem Index besitzt. Die Permutationen, die nur endlich viele Symbole verändern, bilden eine invariante Untergruppe \(\mathfrak G\), die geraden Permutationen in \(\mathfrak G\) eine weitere invariante Untergruppe. Andere invariante Untergruppen außer diesen beiden und den trivialen gibt es nicht.