Über Systeme in einfachen Körpern. (Q1439235)

Es sei \(\mathfrak I\) ein gegebener Integritätsbereich, \(\mathfrak I\) der zugehörige Quotientenkörper. \(\mathfrak K\) wird dann als einfacher Körper bezeichnet, wenn für die Elemente \(a\) von \(\mathfrak K\) ein absoluter Betrag \(| a |\) definiert ist, der eine reelle Zahl ist, und für den gilt: (1) \(| a | > 0\) für \(a \neq 0\), \(| 0 | = 0;\) (2) \(| ab | = | a | | b |\); (3) die Menge aller reellen Zahlen \(|a|, a\) in \(\mathfrak I\), häuft sich höchstens gegen \(\infty\); (4) zu jedem Paar \(a, b\) mit \(b\neq 0\) existiert ein \(c\) in \(\mathfrak I\), so daß \(|a - cb |< |b|\) gilt. Für die Elemente von \(\mathfrak K\) gilt dann eine eindeutige Zerlegung in Primelemente. Betrachtet werden nun Matrizen mit Koeffizienten aus \(\mathfrak K\) (hier als Systeme aus \(\mathfrak K\) bezeichnet); gehören die Koeffizienten schon zu \(\mathfrak K\), so werden die Matrizen als ganze Matrizen bezeichnet. Für diese Matrizen läßt sich in der gewöhnlichen Weise die Elementarteilertheorie entwickeln. Eine Matrix \(B\) wird als Vielfaches einer ändern Matrix \(A\) vom gleichen Grade bezeichnet, wenn es zwei ganze Matrizen \(P\) und \(Q\) gibt, so daß \(B = PAQ\) ist. Es wird dann bewiesen: Dann und nur dann ist \(B\) ein Vielfaches von \(A\), wenn jeder Elementarteiler von \(B\) ein Vielfaches des entsprechenden Elementarteilers von \(A\) ist (vgl. dazu \textit{Pascal}, Repertorium der höheren Mathematik 2. Aufl., I, 108). (III 2.)