Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen. (Q1439236)

Verf. beschäftigt sich mit Ringen, in denen folgende drei Axiome gelten: I. Der Teilerkettensatz; II. Existenz eines Nichtnullteilers; III. Ganze Abgeschlossenheit im Quotientenring. Zur Formulierung des Resultats sind einige Definitionen nötig: Ideal bedeutet immer ein Nichtnullteilerideal, d. h. ein solches, das nicht aus lauter Nullteilern besteht. Ein ``höheres Primideal'' enthält keine echten Primidealvielfachen außer Nullteileridealen. Ein ``höheres Ideal'' ist durch mindestens ein höheres Primideal teilbar. Ein ``niederes Ideal'' ist durch kein höheres Primideal teilbar. Zwei Ideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) heißen äquivalent, wenn die Kongruenzen \[ \mathfrak c_1 \mathfrak a = 0 (\mathfrak b), \quad \mathfrak c_2 \mathfrak b = 0 (\mathfrak a) \] mit niederen Idealen \(\mathfrak c_1\) und \(\mathfrak c_2\) bestehen. Dann gilt: Jedes Ideal ist einem Produkt von Primidealen äquivalent. Die Faktorenzerlegung eines höheren Ideals in höhere Primidealfaktoren ist eindeutig. (Die Äquivalenz kann nicht durch Gleichheit ersetzt werden.) Als Anwendung werden die Primdivisoren in algebraischen Funktionenkörpern behandelt. (Vgl. dazu \textit{E. Noether}, Math. Ann. 96 (1926), 26-61; F. d.M. 52.)