Zur Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe. (Q1439237)

Unter denselben Voraussetzungen wie in der vorstehend besprochenen Arbeit wird gezeigt, daß die Nichtnullteiler-Hauptideale nur höhere Primärkomponenten haben. Für diese stimmt also Äquivalenz mit Gleichheit, Teilbarkeit mit Quasiteilbarkeit überein. Unter Benutzung dieser Tatsache läßt sich das Ergebnis der früheren Arbeit in folgender Weise umkehren: Wenn in einem Ring der Teilerkettensatz gilt, ein Einheitselement vorhanden ist, jedes Hauptideal einem Produkt von höheren Primidealen äquivalent ist, und wenn für Hauptideale die Quasiteilbarkeit mit der Teilbarkeit gleichbedeutend ist, so ist der Ring ganz abgeschlossen in seinem Quotientenring. (Das Ideal \(\mathfrak a\) heißt quasiteilbar durch das Ideal \(\mathfrak b\), wenn \(\mathfrak c_1 \mathfrak a \equiv 0(\mathfrak b)\) mit einem niederen Ideal \(\mathfrak c_1\).)