Zur Berechnung des Jacobischen Symbols. (Q1439283)

Wenn \(p\) und \(p_1\) irgend zwei ungerade Zahlen ohne gemeinschaftlichen Teiler sind, so bildet man das System von Gleichungen: \[ \begin{aligned} p&=kp_1+\varepsilon p_2,\\ p_1&=k_1p_2+\varepsilon _1p_3,\\ p_2&=k_2p_3+\varepsilon _2p_4\\ &\vdots \\ p_n&=k_np_{n+1}+\varepsilon _n, \end{aligned} \] wobei sämtliche \(p_\mu\) positiv und ungerade sind und \[ \varepsilon_\mu =\pm 1; \quad p>p_1>p_2 >p_3>\ldots \] ist. Neben jede der so gebildeten Gleichungen \(p_\mu = k_\mu p_{\mu+1}+ \varepsilon _\mu p_{\mu+2}\) schreibt man als Randzahl die Null oder die Eins; und zwar die Null, wenn von den beiden Zahlen \(p_{\mu +1}\) und \(e_\mu p_{\mu +2}\) wenigstens eine \(\equiv 1\) (mod 4) ist, die Eins dagegen, wenn \(p_{\mu +1} \equiv -1\) und \(e_\mu p_{\mu+1}\equiv -1\) (mod 4) ist. Wenn die Summe aller dieser Randzahlen gerade ist, so ist \(\biggl(\dfrac{p}{p_1}\biggr)=+1\), wenn aber diese Summe ungerade ist, so hat man \(\biggl(\dfrac{p}{p_1}\biggl)=-1.\) In dieser Form war der Satz von \textit{G. Eisenstein} ausgesprochen und bewiesen [J. Reine Angew. Math. 28, 246--248 (1844; Zbl 02750959)]. Der Autor der vorliegenden Notiz gibt hier eine Verkürzung des Algorithmus, der zur Ermittelung des Resultats führt.