Abriß einer arithmetischen Theorie der Galoisschen Körper. I, II. (Q1439308)

Verf. untersucht bei vorgegebenem relativ \textit{Galois}schem Körper \(K/k\) und Primideal \(\mathfrak P\) in \(K\) die Beschaffenheit der Zerlegungsgruppe und insbesondere der Trägheitsgruppe näher, indem er die Zerlegungsgruppe in eine Kompositionsreihe von der Verzweigungsgruppe an entwickelt und in den zugehörigen Körpern immer die irreduzible Kongruenz für eine erzeugende Größe eines Körpers in der Kette im vorangehenden Körper betrachtet, und zwar nach einer beliebig hoch gewählten Potenz von \(\mathfrak P\). In der ersten Mitteilung wird das zuerst für den 'regulären' Fall, daß \(K\) selbst der Verzweigungskörper ist, durchgeführt. Hier kommt man für eine passend gewählte erzeugende Zahl aus \(K\) auf eine Kongruenz: \(x^e + p\tau^a \equiv O(\mathfrak P)\) im Trägheitskörper, wenn dort \(\tau\) eine Primitivwurzel mod \(\mathfrak P\) ist; es muß \(e | p^f - 1\) und \(e | a (p - 1)\) sein (\(f\) Grad von \(\mathfrak P\)). Die Zerlegungsgruppe hat dann die Gestalt \(\sum Z^iT^j\) wo \(T\) eine erzeugende Substitution der Trägheitsgruppe und \(Z^f = T^a\), \(Z^{-1} TZ = T^p\) ist. -- Für den irregulären Fall \(p | e\) (Ordnung der Trägheitsgruppe) besteht die Kompositionsreihe des Verzweigungskörpers \(K_0 < K_1 < \cdots K_s = K\) aus lauter Relativkörpern vom Grade \(p\), unter die man die höheren Verzweigungskörper aufnehmen kann. Hier erhält man durch Aufstellung der entsprechenden Relativ-Kongruenzen, daß für den Primidealzerfall \(\mathfrak p = \bar\mathfrak p^p\) die Relativdifferente gerade durch \(\bar\mathfrak p^{p-1+\varrho}\) teilbar ist, wo \(1 \leqq \varrho \leqq e'\cdot p\) und \(\mathfrak p^{e'} | p \not\equiv 0(\mathfrak p^{e'+1})\). Für \(\varrho = e'p\) erhält man eine binomische Kongruenz: \(x^p + \pi_0\beta_0 \equiv 0\), wo \(\mathfrak p | \pi_0 \not\equiv 0(\mathfrak p^2)\), für \(\varrho < e'p\) eine trinomische Kongruenz, bei der noch ein Glied \(\pi^{a_r+1}_0\beta_rx^r\), \ \((\beta,\mathfrak p) = \mathfrak o\), hinzukommt, wobei dann \(\varrho = a_rp + r\). Die zweite Mitteilung enthält dann das Hauptresultat, daß in der Reihe der Relativkongruenzen für \(K_1/K_0, K_2/K_1 \ldots,K/K_{s-1}\) alle binomisch oder alle trinomisch sind (Satz 7); für den binomischen Fall sind die Verzweigungen \(\mu_1 \equiv \mu_2 \equiv \cdots \equiv 1(p)\), für den trinomischen \(\equiv 1 - r(p)\) (Satz 8); sie sind durch \(\mathfrak P^{\mu_\lambda} | \pi^V - \pi \not\equiv 0(\mathfrak P^{\mu_\lambda+1})\) definiert, wo \(\mathfrak P | \pi \not\equiv 0(\mathfrak P^2)\) und \(V\) eine Substitution aus der \(\lambda\)-ten, aber nicht der \((\lambda + 1)\)-ten \textit{Hilbert}schen Verzweigungsgruppe ist. -- Zum Beweis wichtig ist der Satz 5, daß sich für \(K_i/K_{i-1}\) der Differentenüberschuß \(\varrho\) durch die zugehörige Verzweigung \(\mu\) bestimmt: \(\varrho = (\mu - 1)(p - 1)\). -- Für den binomischen Fall \(\varrho = e'p\), der jetzt eingehender studiert wird, multipliziert sich \(\varrho\) jedesmal mit \(p\), und dann auch die um eins verminderten Verzweigungen, und jedes \(K_i\) ist ein höherer Verzweigungskörper. Es ist \(K/K_0\) zyklisch, und die Zerlegungsgruppe hat die Gestalt \(\sum Z^hT^iV^j\), wo \(V\) eine erzeugende Substitution der Verzweigungsgruppe und \(Z^f = T^{a_0}\); \ \(T^{e_0} = V^{p^s} = E\), \ \(Z^{-1}TZ = T^p\), \ \(Z^{-1}VZ = V^{z_0}\), \ \(T^{-1}VT = V^{t_0}\) wobei \(e = e_0p^s, p - 1 | e_0, a_0\); \(p^s | (z_0 - 1) f\) und \(p-1\) der Exponent von \(t^0 \mod p^s\). Für \(p > 2\) ist die Trägheitsgruppe also nicht Abelsch. -- Der trinomische Fall ist einer dritten Mitteilung vorbehalten. (III 5.)