Beweis des Hauptidealsatzes für die Klassenkörper algebraischer Zahlkörper. (Q1439312)

Hier wird jetzt der vollständige Beweis für die \textit{Hilbert}sche Vermutung (Hauptidealsatz), daß im absoluten Klassenkörper alle Ideale des Grundkörpers Hauptideale werden, erbracht, die sich darauf stützte, daß in jedem relativ zyklischen unverzweigten Oberkörper von ungeradem Primzahlgrad mindestens eine Klasse des Grundkörpers in die Hauptklasse übergeht (\textit{Hilbert}, Zahlbericht (1897; F. d. M. 28, 157 (JFM 28.0157.*)-162), Satz 94). Für zyklische Klassengruppe bewies Verf. den Hauptidealsatz schon früher (1906; F. d. M. 37, 243 (JFM 37.0243.*)-244). Für den nichtzyklischen Fall dagegen liegen die zahlentheoretischen Verhältnisse so kompliziert, daß man inzwischen wieder an der Allgemeingültigkeit des Hauptidealsatzes zweifelte. Eine entscheidende Wendung in dieser Frage kam durch die Erkenntnis zustande, daß sich das Problem rein gruppentheoretisch angreifen läßt. Nach der oben besprochenen \textit{Artin}schen Arbeit kommt nämlich der Hauptidealsatz auf die Gültigkeit der Relation \[ S_i^{e_i\prod\limits_{j\neq i}\mathfrak f_j} = E \qquad (i=1, \ldots, n) \tag{H} \] für jeden konkreten Fall hinaus. Verf. beweist hier das Bestehen dieser Relation allgemein für zweistufige Gruppen, wobei es genügt, sich auf Gruppen von Primzahlpotenzordnung zu beschränken. Nach Einführung der symbolischen Potenzierung werden die Grundrelationen \[ S_i^{e_i\varDelta_k} = T_{ik}^{\mathfrak f_i} \qquad (i, k =1, \ldots, n) \tag{1} \] und \[ T_{ik}^{\varDelta_j}T_{kj}^{\varDelta_i}T_{ji}^{\varDelta_k} = E \qquad (i, j, k =1, \ldots, n) \tag{2} \] aufgestellt, aus denen sich die Relation (H) formal ergibt. Dabei ist \(T_{ik}\) der Kommutator von \(S_i\) mit \(S_k\), \ \(\varDelta_i = S_i-1, \;\mathfrak f_i = 1 + S_i + \cdots + S_i^{e_i-1}\). -- Für \(n = 2\) Erzeugende \(S_i\) folgt (H) ganz einfach aus den Relationen (1), für drei Erzeugende auch noch ziemlich durchsichtig aus (1) und (2). Wie die Sache allgemein liegt, zeigt sich erst für \(n > 3\). Hier ist es praktisch, (2) durch die verallgemeinerten Relationen \[ T_{j_r,j_1}^{\varDelta_{j_2}\varDelta_{j_3}\cdots\varDelta_{j_{r-1}}} \prod_{i=1}^{r-1} T_{j_{i,i+1}}^{\varDelta_{j_1}\cdots\varDelta_{j_{i1}}\varDelta_{j_{i+2}}\cdots\varDelta_{j_r}} = E \qquad \begin{cases} r\leqq n\\ j_i=1,\ldots,n \end{cases} \] zu ersetzen und dann statt der symbolischen Potenzprodukte der \(\dbinom{n}{2}\) Größen \(T_{ik}\) ein additives System in \(\dbinom{n}{2}\) Einheiten mit den ursprünglichen Exponenten als Koeffizienten einzuführen. Eine Reihe von Matrizen-Relationen und kombinatorischen Überlegungen führen dann zum Ziel. (III5.)