A contribution to the metric theory of Diophantine approximations (Q1439346)

Verf. knüpft an an einen Satz von \textit{Khintchine} (Math. Ann. 92 (1924), 115- 125; F. d. M. 50, 125 (JFM 50.0125.*)), der Folgendes besagt: \(f(x)\) sei für \(x > 0\) stetig und positiv, \(x^2\cdot f(x)\) für \(x > 0\) abnehmend. Wenn eine Zahl \(\varTheta \) aus dem Intervall \(0\leqq \varTheta \leqq 1\) in der Gleichung \[ \biggl|\,\varTheta -\frac{a}{b}\,\biggr|<f(b) \] unendlich viele ganzzahlige Lösungen zuläßt, so sage man, \(\varTheta \) \textit{gestatte} (oder realisiere) die Approximation \(f(x)\). Nach \textit{Khintchine} ist das \textit{Lebesgue}sche Maß der Menge der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), die die Approximation \(f (x)\) gestatten, gleich 0, wenn \[ \displaylines{\rlap{\qquad(*)} \hfill \textstyle \int\limits^{+\infty } \displaystyle xf(x)\,dx \hfill} \] konvergiert, und gleich 1, wenn das Integral (*) divergiert. Aus diesem Satz folgt nun, daß mit \(\alpha >2\) die Menge \(P_\alpha \) der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), die die Approximation \[ f(x)=x^{-\alpha } \] gestatten, vom \textit{Lebesgue}schen Maß 0 ist; über die Mengen \(P_\alpha \) lassen sich aber unterscheidende Aussagen in der Richtung des \textit{Hausdorff}schen Maßbegriffs (vgl. \textit{F. Hausdorff}, Math. Ann. 79 (1919), 157-179; F. d. M. 46, 292 (JFM 46.0292.*)) machen (der \textit{Hausdorff}sche Maßbegriff wird im ersten Paragraphen der referierten Arbeit definiert, ohne daß etwas aus der zitierten \textit{Hausdorff}schen Arbeit vorausgesetzt wird). Für irgendeine Menge \(E\) von reellen Zahlen sei unter dim \(E\) die \textit{Hausdorff}sche Dimension verstanden. Verf. kündigt zunächst folgenden Satz an: Für \(\alpha >2\) ist \[ \dim\;P_\alpha =\frac{2}{\alpha }. \] Verf. betrachtet sodann den Fall, daß die Approximation \(f(x)\) von allen \(\varTheta \) aus \(O\leqq \varTheta \leqq 1\) mit Ausnahme einer Menge vom \textit{Lebesgue}schen Maße Null realisiert wird; er untersucht insbesondere \[ \displaylines{\rlap{\qquad(**)} \hfill f(x)=\frac{1}{x^2\,\text{Max}\,(1,\log^\alpha x)} \hfill} \] mit \(0<\alpha \leqq 1\). \(Q_\alpha \) sei die Menge der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), die die Approximation (**) nicht gestatten, die nach dem Gesagten vom \textit{Lebesgue}schen Maß Null ist; für ihre \textit{Hausdorff}sche Dimension beweist Verf.: \[ \displaylines{\rlap{\qquad I.} \hfill \dim\;Q_\alpha =1\;\;(\text{für}\;0<\alpha \leqq 1). \hfill} \] Wegen des sich leicht ergebenden Zusammenhanges mit der Kettenbruchentwicklung der fraglichen Irrationalitäten \(\varTheta \) betrachtet Verf. ferner folgende Mengen: Mit ganzem \(\alpha \geqq 2\) (\(\alpha =1\) ist trivial) sei \(M_\alpha \) die Menge der irrationalen \(\varTheta \) aus \(0 < \varTheta < 1\), in deren Kettenbruchentwicklung die Teilnenner \(\leqq \alpha \) sind. \(M_\infty \) sei die Menge der \(\varTheta \) aus \(0\leqq \varTheta \leqq 1\), für die zu jedem \(\varTheta \) ein \(c=c(\varTheta )>0\) existiert, derart, daß für alle ganzen \(p\), \(q\) mit \(q > 0\) \[ \biggl|\,\varTheta -\frac{p}{q}\,\biggr|>\frac{c}{q^2} \] gilt. Verf. beweist: \ II.\quad\ \(\dim M_\infty =1\), III.\quad\ \(\dim M_2=\tfrac{1}{4}\), IV. \quad\ \(1-\dfrac{4}{\alpha \,\log\,2}\leqq \dim M_\alpha \leqq 1 -\dfrac{1}{8\alpha \,\log\,\alpha }\) für ganzes \(\alpha > 8\). II -- und also a fortiori I -- folgt unmittelbar aus III und IV. III und IV werden direkt durch Untersuchung der Überdeckungssysteme der fraglichen Mengen bewiesen.